§ 7. Понижение порядка системы уравнений Гамильтона с помощью интеграла энергии

Рассмотрим механическую систему, обладающую интегралом энергии. Для такой системы функция Гамильтона Н не зависит явно от времени

где — постоянная энергии. Если рассматриваемая механическая система подчинена стационарным связям и кинетическая энергия ее есть однородная квадратичная функция от обобщенных скоростей, то постоянная будет совпадать с полной механической энергией системы Е:

Введем новую переменную

и определим импульс . Имеем

Ясно, что функция К не будет зависеть явно от времени . Этот результат следует и непосредственно из уравнения (9.12) Уиттекера:

Поскольку функция К не зависит явно от времени последние уравнений Уиттекера (9.13) могут быть проинтегрированы независимо от уравнений (9.12).

Таким образом, приходим к системе уравнений

порядок которой на две единицы меньше, чем порядок первоначальной системы уравнений.

Проинтегрировав систему уравнений (9.16), получим как функции от параметра произвольных постоянных

Подставив найденные таким образом значения для в формулу (9.15), найдем импульс

Временную связь можно найти, если воспользоваться первым из уравнений Уиттекера:

Отсюда получаем

Время можно определить также, если воспользоваться одним из уравнений Гамильтона:

откуда

Если в производную которая в рассматриваемом случае будет функцией подставить из (9.18) и из (9.17), то получим некоторую функцию, зависящую от постоянной энергии и произвольных постоянных интегрирования . Обозначая:

получаем

Таким образом, задача интегрирования уравнений движения доведена до квадратур.

Проиллюстрируем сказанное на простом примере. Рассмотрим консервативную систему с двумя степенями свободы. Пусть функция Гамильтона будет иметь следующий вид:

Здесь — постоянные.

Из интеграла энергии (9.19) определяем импульс

Следовательно, функция , играющая роль функции Гамильтона, в уравнениях Уиттекера будет иметь вид

Составим уравнения Уиттекера:

и

Уравнения (9.22) интегрируются независимо от уравнения (9.21).

Определив производные и найдем

Отсюда после деления одного уравнения на другое получим

Разделяя переменные и интегрируя, находим первый интеграл:

Пользуясь соотношением (9.23) и замечая, что

можно уравнение (9.23) представить в следующем виде:

или после разделения переменных

Произведя интегрирование, получим второй интеграл:

Найдем теперь время для чего обратимся к уравнению (9.21). Представляя с помощью первого интеграла (9.24) функцию К в виде

получаем

и, следовательно,

Отсюда после интегрирования находим

Теперь можно определить как функцию времени

Пользуясь (9.26), находим из уравнения

После того, как найдены нетрудно найти

Таким образом, задача полностью решена.