§ 2. Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана

В интегральном инварианте контуром интегрирования служит кривая С, состоящая из фазовых точек, соответствующих различным возможным состояниям системы для одного и того же момента времени Кривую С можно назвать «кривой одновременных состояний».

Э. Картан показал, что существуют более общие интегральные инварианты, в которых контуром интегрирования может служить произвольная замкнутая кривая не обязательно являющаяся кривой одновременных состояний.

Воспользуемся образами многомерной геометрии и будем в дальнейшем определять состояние системы величинами: временем обобщенными координатами Як и обобщенными импульсами

Соответственно этому будем рассматривать расширенное фазовое пространство и отличающееся от фазового пространства еще одной координатой — временем . В таком -мерном пространстве положение точки будет определяться величинами: .

Рассмотрим в расширенном фазовом пространстве некоторую замкнутую кривую Си уравнение которой представим в параметрической форме:

Пусть параметр изменяется в пределах . Так как кривая замкнутая, то

Так как каждая фазовая точка кривой определяет состояние системы, то через нее можно провести единственную фазовую линию, соответствующую прямому пути системы. В результате получаем трубку прямых путей системы (рис. 26).

Рис. 26

Проведем произвольную охватывающую трубку кривую параметрическое уравнение которой запишем в следующем виде:

Здесь параметр по-прежнему изменяется в пределах Поскольку кривая замкнутая, имеют место соотношения

Рассмотрим теперь действие по Гамильтону

вдоль какой-нибудь образующей соответствующей значению параметра а. Такая образующая, очевидно, будет соответствовать прямому пути системы в интервале от до .

Прямой путь системы (включая начальную и конечную точки) однозначно определяется либо начальным состоянием системы и конечным моментом времени, т. е. , либо начальным и конечным моментами времени и соответствующими этим моментам конфигурациями системы, т. е.

Соответственно этому переход от образующей к близкой к ней образующей соответствующей значению параметра можно рассматривать либо как результат варьирования величин либо как результат варьирования величин

Вторая точка зрения в данном случае имеет то преимущество, что позволяет воспользоваться общей формулой для вариации функции действия Гамильтона.

На основании формулы (7.11), имеем

где и — значения функции Гамильтона вдоль кривых

Из равенства (9.2), интегрируя по параметру а в пределах от до получаем, что криволинейные интегралы, взятые от функции

вдоль замкнутых кривых лежащих на трубке прямых путей, будут иметь одинаковые значения. Действительно, так как

то

Полученный результат показывает, что интеграл

взятый вдоль замкнутой кривой С, охватывающей трубку прямых путей, сохраняет вдоль трубки (т. е. при перемещении и деформации контура вдоль трубки) постоянное значение.

Интеграл носит название относительного интегрального инварианта первого порядка Пуанкаре — Картана.

Инвариант Пуанкаре — Картана является обобщением интегрального инварианта Пуанкаре [см. (9.1)]. Действительно, если трубку прямых путей пересечь гиперплоскостью то в сечении получим некоторый контур одновременных состояний. Если теперь в интегральном инварианте Пуанкаре—Картана положить (так как ), то получим интегральный инвариант Пуанкаре

В интегральном инварианте Пуанкаре — Картана время входит на правах координаты системы, а функция Гамильтона взятая со знаком минус, играет роль обобщенного импульса. На этой аналогии основаны некоторые преобразования в механике (см. § 6 настоящей главы).