§ 2. Обобщенные координаты

Конфигурация любой механической системы будет определена, если известно положение каждой материальной точки системы. Для свободной механической системы, состоящей из материальных точек, конфигурация определяется независимыми величинами, например, ее декартовыми координатами .

В случае несвободной механической системы, на точки которой наложено независимых между собой голономных связей вида

ее конфигурация в момент определяется — независимыми величинами, поскольку между координатами

точек системы существует независимых между собой соотношений (1.9).

Пусть функциональный определитель

где для удобства через обозначены координат из числа координат отличен от нуля. Тогда из уравнений (1.9) можно определить координат и выразить их через остальные координат, которые обозначим через Таким образом,

Эти декартовых координат можно принять в качестве независимых координат, определяющих конфигурацию системы в каждый момент времени .

Однако такой способ введения независимых координат не всегда оказывается наиболее удобным.

Во многих случаях более удобным бывает ввести других независимых параметров, обозначаемых обычно через и называемых обобщенными координатами системы, с помощью которых можно однозначно определить конфигурацию системы.

Обобщенные координаты могут иметь различные размерности (длины, угла, площади и т. п.). Они должны взаимно однозначно определять независимых координат . Для этого необходимо существование соотношений вида

при условии, что функциональный определитель

не равен тождественно нулю в области изменения параметров Если в функции (1.10) для координат подставить

выраженные через обобщенные координаты и время то все координаты точек системы будут выражены через обобщенные координаты и время т. е.

Если полученные таким образом выражения для координат подставить в уравнение связей (1.9), то они обратят последние в тождества, т. е.

так как в противном случае между обобщенными координатами и временем существовала бы зависимость, и они, следовательно, не были бы независимы между собой, что привело бы к противоречию.

Необходимо отметить, что при определении обобщенных координат нет нужды каждый раз выполнять описанные выше операции, так как любая совокупность независимых между собой параметров достаточная для определения в каждый момент времени конфигурации системы, может быть принята в качестве обобщенных координат.

Выбор обобщенных координат стараются обычно производить так, чтобы решение задачи было наиболее простым.

Рассмотрим примеры.

1. Пусть точка М движется по поверхности сферы с постоянным радиусом и центром в начале координат (рис. 3).

В данном случае связь будет голономной и стационарной; ее уравнение будет иметь вид

Положение точки М в любой момент времени определяется двумя независимыми координатами.

В качестве обобщенных координат здесь удобно взять два угла: широту и долготу (рис. 3).

2. Жесткая система состоит из материальных точек, соединенных между собой нерастяжимыми стержнями. Каким числом параметров определяется конфигурация такой системы?

Для определения положения свободной системы из точек необходимо задать параметров.

Рис. 3

Подсчитаем, сколько стержней необходимо для того, чтобы систему сделать жесткой.

Возьмем какие-либо три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их попарно стержнями. Такая система, очевидно, будет жесткой. Соединяя каждую последующую из оставшихся точек тремя стержнями с тремя данными точками, мы каждый раз будем получать жесткую систему.

Таким образом, общее количество стержней, при котором система, состоящая из точек, будет жесткой, а следовательно, и число связей, налагаемых на точки системы, будет равно

Отсюда следует, что число независимых параметров, определяющих положение рассматриваемой системы, будет равно

Число независимых параметров, определяющих положение твердого тела, также будет равно шести так как твердое тело можно рассматривать как жесткую систему, состоящую из точек, расстояния между которыми остаются неизменными. В качестве

шести параметров, Определяющих положение твердого тела, могут быть взяты три координаты центра тяжести и три угла Эйлера, определяющие положение системы координат, жестко связанной с телом, относительно основной системы отсчета.