§ 5. Задача о геодезических линиях

Геометрическая задача о геодезических линиях на поверхности, т. е. задача о кратчайшем расстоянии между двумя точками А и В, лежащими на поверхности, эквивалентна механической задаче о траектории точки, движущейся по инерции по заданной поверхности и проходящей через две заданные точки А и В. Этот результат непосредственно следует из принципа стационарного действия в форме Якоби:

Рассмотрим движение по инерции точки, находящейся на поверхности .

Положение точки на поверхности может быть задано двумя обобщенными координатами . Следовательно, декартовы координаты точки будут функциями

Элемент дуги равен

Это есть первая дифференциальная форма Гаусса. Здесь

Рассматривая как функции параметра , получаем

Определение траектории в случае движения точки по инерции сводится к нахождению геодезической линии на поверхности Следовательно, интеграл

должен иметь стационарное значение, а потому первая вариация его должна равняться нулю:

Так как под знаком интеграла стоит функция двух переменных :

то для отыскания экстремали нужно составить два уравнения Эйлера:

Проинтегрировав эту совместную систему уравнений, найдем обобщенные координаты как функции параметра

Если теперь найденные значения подставить в уравнения траектории, написанные в параметрической форме, то получим

Эти уравнения являются уравнениями в параметрической форме геодезической линии на поверхности .

В качестве примера рассмотрим движение по инерции точки, находящейся на боковой поверхности цилиндра радиусом

Введем цилиндрические координаты и в качестве обобщенных координат примем .

Элемент дуги в полярных координатах имеет следующее выражение:

Определение траектории сводится к нахождению экстремали следующей вариационной задачи:

Так как подынтегральное выражение не содержит обобщенных координат и то из уравнения Эйлера получаем

Отсюда, путем деления первого уравнения на второе, находим

Следовательно, уравнения траектории, а значит и геодезической линии, будут иметь вид

а это — уравнения винтовой линии.

Если постоянная то т. е. точка будет совершать круговое движение в плоскости, параллельной основанию.

Если же постоянная то . В этом случае точка будет совершать прямолинейное движение вдоль образующей цилиндра. Какое из указанных трех движений будет происходить, зависит от начальных условий.

В качестве следующего примера рассмотрим движение точки по поверхности вращения.

Пусть уравнение поверхности вращения, по которой движется точка по инерции, есть где

В цилиндрических координатах элемент дуги равен

Задача о траектории точки сводится к нахождению экстремали следующей вариационной задачи:

Так как подынтегральная функция

не содержит явно функции то из уравнения Эйлера

будем иметь

Отсюда находим

Извлекая корень, разделяя переменные и интегрируя, получаем

Это есть уравнение траектории. Оно определяет геодезическую линию на рассматриваемой поверхности вращения .

Постоянные определяют начальное положение точки, а С определяется начальными условиями движения.