§ 3. Различные виды канонических преобразований

Производящая функция V, зависящая от переменных может быть выбрана произвольным образом. Однако не все переменные будут независимы между собой, так как между ними существуют соотношений (8.8), определяющих рассматриваемое преобразование.

Таким образом, из переменных независимыми будут лишь переменных.

Рассмотрим отдельные виды канонических преобразований. Хотя рассмотренные ниже случаи и не исчерпывают всех возможных канонических преобразований, однако для понимания общей теории канонических преобразований целесообразно рассмотреть именно те случаи, когда из всей совокупности переменных можно варьировать произвольно и независимо:

Случай 1. Независимыми переменными являются .

При таком выборе независимых переменных производящая функция V будет зависеть от времени старых координат и новых координат

и, следовательно, тождество (8.13) примет вид

Развертывая полный дифференциал

получаем после приведения

Отсюда, в силу независимости будем иметь

Задавшись какой-либо производящей функцией мы с помощью уравнений

определим все через , таким образом, получим первую систему уравнений:

Подставив затем полученные значения в уравнения найдем вторую систему уравнений рассматриваемого канонического преобразования:

Тем самым каноническое преобразование определено. Последнее из уравнений (8.23):

определяет новую функцию Гамильтона при переходе от переменных к новым переменным

Случай 2. Независимыми переменными являются

При таком выборе независимых переменных производящая функция V будет зависеть от времени обобщенных координат и новых обобщенных импульсов

От переменных к переменным можно перейти с помощью преобразования Лежандра, положив

Напишем основное тождество (8.13), определяющее каноническое преобразование, в следующем виде: к

Развертывая выражение

и приводя подобные члены, получаем

Это соотношение в силу независимости приводит к следующей системе уравнений:

Задаваясь некоторой производящей функцией

мы с помощью уравнений

определяем как функции , таким образом, получаем первую группу уравнений:

Подставляя затем найденные значения , в уравнения

получаем вторую группу уравнений:

Таким образом, каноническое преобразование определено.

Новая функция Гамильтона будет определена с помощью соотношения

Здесь первоначальная функция Гамильтона должна быть преобразована к новым переменным помощью соотношения (8.25).

Случай 3. Независимыми переменными являются .

При таком выборе независимых переменных производящая функция V будет зависеть от времени старых обобщенных импульсов и новых обобщенных координат

От переменных к переменным можно перейти с помощью преобразования Лежандра:

Основное тождество (8.13) тогда молено записать в следующей форме:

Далее имеем

что после подстановки в равенство (8.28) и приведения подобных членов дает

Отсюда в силу независимости имеем

Задавшись некоторой производящей функцией

мы с помощью соотношений

определим обобщенные координаты как функции от и выразим в виде функции от

Далее с помощью уравнений

находим как функции от

Таким образом, каноническое преобразование определено.

Новая функция Гамильтона Н в переменных определяется с помощью соотношения

в котором первоначальная функция Гамильтона должна быть преобразована к переменным что можно выполнить с помощью соотношения (8.30).

Случай 4. Независимыми переменными являются .

Здесь производящая функция будет зависеть от времени старых обобщенных импульсов и новых обобщенных импульсов

От переменных к переменным можно перейти с помощью двойного преобразования Лежандра:

Тогда основное тождество (8.13) примет вид

Но так как

то после сокращения и приведения подобных членов получим

Отсюда в силу независимости будем иметь

Задавшись некоторой производящей функцией

мы с помощью соотношений

найдем обобщенные координаты как функцию от и выразим затем как функции от

Таким образом, получаем первую группу уравнений для рассматриваемого канонического преобразования.

Далее из соотношений

находим как функции от , а затем с помощью соотношений (8.33) выражаем как функции от

Таким образом, находим вторую группу уравнений, определяющих рассматриваемое каноническое преобразование.

Новую функцию Гамильтона в переменных получим с помощью соотношения

причем обобщенные координаты входящие в функцию Гамильтона должны быть выражены через Это можно сделать с помощью соотношений (8.32).

Канонические преобразования образуют группу. Это следует из того, что два последовательно выполненных преобразования сводятся к одному преобразованию, также каноническому. Преобразование,

обратное каноническому, и тождественное преобразование тоже являются каноническими.