§ 7. Интеграл энергии

Движение голономной системы с степенями свободы описывается уравнениями Лагранжа второго рода:

В результате интегрирования этой совокупной системы дифференциальных уравнений второго порядка мы находим интегралов уравнений движения вида

и

где — постоянные величины.

Среди первых интегралов существуют интегралы, представляющие особый физический интерес, так как они имеют место при любых начальных состояниях рассматриваемой механической системы. Среди этих интегралов особое место занимает интеграл энергии, к выводу которого мы сейчас перейдем.

Рассмотрим общий случай движения системы, когда функция Лагранжа зависит от времени обобщенных

координат и обобщенных скоростей . Возьмем полную производную от функции

Пользуясь далее уравнениями Лагранжа, получаем

Перенося член, содержащий сумму, в левую часть и меняя порядок суммирования и дифференцирования, находим

Если функция Лагранжа не зависит явно от времени то , следовательно,

Отсюда после интегрирования будем иметь

Полученный интеграл носит название обобщенного интеграла энергии. В общем случае его не следует смешивать с физическим интегралом энергии, как суммы кинетической и потенциальной энергий системы.

Кинетическую энергию системы Т, как указывалось, можно представить в виде суммы трех слагаемых, представляющих однородные функции соответственно второй, первой и нулевой степеней от обобщенных скоростей:

Следовательно, функция Лагранжа будет иметь вид

и потому на основании известной теоремы Эйлера об однородных функциях получим

Таким образом, обобщенный интеграл энергии (5.37) можно записать в такой форме:

Этот интеграл, называемый интегралом Якоби, не совпадает с полной энергией системы, равной

так как в выражении (5.38) отсутствуют члены, содержащие обобщенные скорости в первой степени (отсутствует ).

Члены, линейно зависящие от обобщенных скоростей и входящие в выражение кинетической энергии, но не входящие в обобщенный интеграл энергии (5.38), носят название гиростатияеских членов.

Механические системы, для которых функция Лагранжа может быть представлена как разность между кинетической и потенциальной энергиями, и притом кинетическая энергия есть квадратичная функция от обобщенных скоростей а потенциальная энергия не зависит от называются натуральными системами. В противном случае их называют ненатуральными или общими лагранжевыми системами.

Вернемся теперь к обобщенному интегралу энергии (5.37).

Если механическая система подчинена стационарным связям, то ее кинетическая энергия является

однородной функцией только второй степени от обобщенных скоростей:

где — функции только от обобщенных координат и в этом случае равны нулю. Обобщенный интеграл энергии

совпадает при этом с полной энергией системы:

Полученный результат носит название закона сохранения механической энергии.

Отметим, что энергия системы обладает свойством аддитивности, т. е. полная энергия системы равна сумме энергий ее составных частей. Это свойство энергии вытекает из свойства аддитивности функции Лагранжа

Рассмотрим примеры.

1. Случай, когда кинетическая энергия системы есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей. Рассмотрим движение в поле силы тяжести несвободной точки М, находящейся на поверхности круглого цилиндра радиуса (рис. 20).

Вводя цилиндрические координаты напишем выражение для кинетической энергии точки:

Но так как точки М остается на поверхности цилиндра радиуса то , следовательно,

Потенциальная энергия точки в поле силы тяжести равна

и функция Лагранжа, следовательно, будет иметь вид

В рассматриваемом примере выполнены все условия, при которых имеет место закон сохранения полной механической энергии, так как движение точки происходит в потенциальном поле, а кинетическая энергия есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей.

Рис. 20

Действительно, имеем

и

т. е. закон сохранения полной механической энергии выполняется.

2. Случай, когда кинетическая энергия не есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей. Рассмотрим движение в поле силы тяжести несвободной точки М, находящейся на поверхности круглого цилиндра радиуса равномерно вращающегося вокруг неподвижной вертикальной оси с угловой скоростью .

Воспользуемся результатами предыдущей задачи. Обозначая через цилиндрические координаты точки М относительно системы жестко связанной

с вращающимся цилиндром, и замечая, что получаем следующее выражение для кинетической энергии Т:

Отсюда следует, что кинетическая энергия не является однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей. Имеем

Так как функция Лагранжа

не зависит от времени то имеет место обобщенный интеграл энергии (5.37):

Однако легко видеть, что постоянная С не совпадает со значением полной механической энергии точки

Действительно, подставляя значения производных

в формулу (5.41), получаем

или в сокращенной записи:

Отсюда следует, что