Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 7. Интеграл энергииДвижение голономной системы с
В результате интегрирования этой совокупной системы дифференциальных уравнений второго порядка мы находим
и
где Среди Рассмотрим общий случай движения системы, когда функция Лагранжа координат
Пользуясь далее уравнениями Лагранжа, получаем
Перенося член, содержащий сумму, в левую часть и меняя порядок суммирования и дифференцирования, находим
Если функция Лагранжа
Отсюда после интегрирования будем иметь
Полученный интеграл носит название обобщенного интеграла энергии. В общем случае его не следует смешивать с физическим интегралом энергии, как суммы кинетической и потенциальной энергий системы. Кинетическую энергию системы Т, как указывалось, можно представить в виде суммы трех слагаемых, представляющих однородные функции соответственно второй, первой и нулевой степеней от обобщенных скоростей:
Следовательно, функция Лагранжа будет иметь вид
и потому на основании известной теоремы Эйлера об однородных функциях получим
Таким образом, обобщенный интеграл энергии (5.37) можно записать в такой форме:
Этот интеграл, называемый интегралом Якоби, не совпадает с полной энергией системы, равной
так как в выражении (5.38) отсутствуют члены, содержащие обобщенные скорости Члены, линейно зависящие от обобщенных скоростей и входящие в выражение кинетической энергии, но не входящие в обобщенный интеграл энергии (5.38), носят название гиростатияеских членов. Механические системы, для которых функция Лагранжа может быть представлена как разность между кинетической и потенциальной энергиями, и притом кинетическая энергия есть квадратичная функция от обобщенных скоростей Вернемся теперь к обобщенному интегралу энергии (5.37). Если механическая система подчинена стационарным связям, то ее кинетическая энергия является однородной функцией только второй степени от обобщенных скоростей:
где
совпадает при этом с полной энергией системы:
Полученный результат носит название закона сохранения механической энергии. Отметим, что энергия системы обладает свойством аддитивности, т. е. полная энергия системы равна сумме энергий ее составных частей. Это свойство энергии вытекает из свойства аддитивности функции Лагранжа Рассмотрим примеры. 1. Случай, когда кинетическая энергия системы есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей. Рассмотрим движение в поле силы тяжести несвободной точки М, находящейся на поверхности круглого цилиндра радиуса Вводя цилиндрические координаты
Но так как точки М остается на поверхности цилиндра радиуса
Потенциальная энергия точки в поле силы тяжести равна
и функция Лагранжа, следовательно, будет иметь вид
В рассматриваемом примере выполнены все условия, при которых имеет место закон сохранения полной механической энергии, так как движение точки происходит в потенциальном поле, а кинетическая энергия есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей.
Рис. 20 Действительно, имеем
и
т. е. закон сохранения полной механической энергии выполняется. 2. Случай, когда кинетическая энергия не есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей. Рассмотрим движение в поле силы тяжести несвободной точки М, находящейся на поверхности круглого цилиндра радиуса Воспользуемся результатами предыдущей задачи. Обозначая через с вращающимся цилиндром, и замечая, что
Отсюда следует, что кинетическая энергия не является однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей. Имеем
Так как функция Лагранжа
не зависит от времени
Однако легко видеть, что постоянная С не совпадает со значением полной механической энергии точки
Действительно, подставляя значения производных
в формулу (5.41), получаем
или в сокращенной записи:
Отсюда следует, что
|
1 |
Оглавление
|