Главная > Введение в аналитическую механику
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 7. Интеграл энергии

Движение голономной системы с степенями свободы описывается уравнениями Лагранжа второго рода:

В результате интегрирования этой совокупной системы дифференциальных уравнений второго порядка мы находим интегралов уравнений движения вида

и

где постоянные величины.

Среди первых интегралов существуют интегралы, представляющие особый физический интерес, так как они имеют место при любых начальных состояниях рассматриваемой механической системы. Среди этих интегралов особое место занимает интеграл энергии, к выводу которого мы сейчас перейдем.

Рассмотрим общий случай движения системы, когда функция Лагранжа зависит от времени обобщенных

координат и обобщенных скоростей . Возьмем полную производную от функции

Пользуясь далее уравнениями Лагранжа, получаем

Перенося член, содержащий сумму, в левую часть и меняя порядок суммирования и дифференцирования, находим

Если функция Лагранжа не зависит явно от времени то , следовательно,

Отсюда после интегрирования будем иметь

Полученный интеграл носит название обобщенного интеграла энергии. В общем случае его не следует смешивать с физическим интегралом энергии, как суммы кинетической и потенциальной энергий системы.

Кинетическую энергию системы Т, как указывалось, можно представить в виде суммы трех слагаемых, представляющих однородные функции соответственно второй, первой и нулевой степеней от обобщенных скоростей:

Следовательно, функция Лагранжа будет иметь вид

и потому на основании известной теоремы Эйлера об однородных функциях получим

Таким образом, обобщенный интеграл энергии (5.37) можно записать в такой форме:

Этот интеграл, называемый интегралом Якоби, не совпадает с полной энергией системы, равной

так как в выражении (5.38) отсутствуют члены, содержащие обобщенные скорости в первой степени (отсутствует ).

Члены, линейно зависящие от обобщенных скоростей и входящие в выражение кинетической энергии, но не входящие в обобщенный интеграл энергии (5.38), носят название гиростатияеских членов.

Механические системы, для которых функция Лагранжа может быть представлена как разность между кинетической и потенциальной энергиями, и притом кинетическая энергия есть квадратичная функция от обобщенных скоростей а потенциальная энергия не зависит от называются натуральными системами. В противном случае их называют ненатуральными или общими лагранжевыми системами.

Вернемся теперь к обобщенному интегралу энергии (5.37).

Если механическая система подчинена стационарным связям, то ее кинетическая энергия является

однородной функцией только второй степени от обобщенных скоростей:

где — функции только от обобщенных координат и в этом случае равны нулю. Обобщенный интеграл энергии

совпадает при этом с полной энергией системы:

Полученный результат носит название закона сохранения механической энергии.

Отметим, что энергия системы обладает свойством аддитивности, т. е. полная энергия системы равна сумме энергий ее составных частей. Это свойство энергии вытекает из свойства аддитивности функции Лагранжа

Рассмотрим примеры.

1. Случай, когда кинетическая энергия системы есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей. Рассмотрим движение в поле силы тяжести несвободной точки М, находящейся на поверхности круглого цилиндра радиуса (рис. 20).

Вводя цилиндрические координаты напишем выражение для кинетической энергии точки:

Но так как точки М остается на поверхности цилиндра радиуса то , следовательно,

Потенциальная энергия точки в поле силы тяжести равна

и функция Лагранжа, следовательно, будет иметь вид

В рассматриваемом примере выполнены все условия, при которых имеет место закон сохранения полной механической энергии, так как движение точки происходит в потенциальном поле, а кинетическая энергия есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей.

Рис. 20

Действительно, имеем

и

т. е. закон сохранения полной механической энергии выполняется.

2. Случай, когда кинетическая энергия не есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей. Рассмотрим движение в поле силы тяжести несвободной точки М, находящейся на поверхности круглого цилиндра радиуса равномерно вращающегося вокруг неподвижной вертикальной оси с угловой скоростью .

Воспользуемся результатами предыдущей задачи. Обозначая через цилиндрические координаты точки М относительно системы жестко связанной

с вращающимся цилиндром, и замечая, что получаем следующее выражение для кинетической энергии Т:

Отсюда следует, что кинетическая энергия не является однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей. Имеем

Так как функция Лагранжа

не зависит от времени то имеет место обобщенный интеграл энергии (5.37):

Однако легко видеть, что постоянная С не совпадает со значением полной механической энергии точки

Действительно, подставляя значения производных

в формулу (5.41), получаем

или в сокращенной записи:

Отсюда следует, что

1
Оглавление
email@scask.ru