Главная > Введение в аналитическую механику
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 10. Уравнения Аппеля

Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек, положение которой в каждый момент времени определяется обобщенными координатами Координаты точки системы будут функциями обобщенных координат и времени

Действительные перемещения точек системы будут:

Напишем виртуальные перемещения точек системы

Пусть, далее, на систему наложено линейных неголономных связей вида

где — функции обобщенных координат и времени

Следовательно, не все допускаемые связями действительные перемещения в уравнениях (5.48) будут независимы между собой [поскольку они связаны условиями (5.50)].

Полагая, что линейная форма (5.50) разрешима,

определим из нее действительных перемещени рассматривая их как функци от остальных перемещений Тогда будем иметь

где и — функции обобщенных координат и времени :

Неголономные связи (5.50) при виртуальных перемещениях накладывают на вариации координат условия вида

и, следовательно, не все вариации в уравнениях (5.49) будут независимы между собой.

Определяя из однородной линейной формы вариаций получаем однородные линейные функции остальных вариаций

где .

Подставляя значения соответственно в уравнения (5.48) и (5.49), получаем для действительных перемещений и виртуальных перемещений следующие выражения:

где все , соответственно, теперь независимы, а — функции обобщенных координат и времени .

Обратимся теперь к общему уравнению динамики (2.13). Подставив в него найденные значения виртуальных перемещений получим его в следующей форме:

Обозначая

получаем

Из уравнений (5.54) находим

Дифференцируя, будем иметь

Из этих уравнений находим

Аналогично будем иметь

Подставляя найденные значения в левую часть равенства (5.57), получаем общее уравнение динамики в следующей форме:

Введем в рассмотрение функцию

где — абсолютное ускорение точки системы. Эту функцию по аналогии с кинетической энергией системы называют энергией ускорения. Тогда формулу (5.58) можно представить в таком виде:

Отсюда в силу независимости вариаций получаем

Уравнения (5.61), образующие систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, впервые были получены в Аппелем и носят его имя. Они имеют общую форму, пригодную как для голономных, так и для неголономных систем. Эта система уравнений (5.61) (по числу степеней

свободы рассматриваемой механической системы) совместно с дифференциальными уравнениями связей (5.50) образует систему дифференциальных уравнений, определяющих движение неголономной системы.

В случае голономных систем уравнения неголономных связей (5.50) отсутствуют и число степеней свободы равно Все вариации при этом независимы между собой. Число уравнений (5.61) в этом случае равно .

В отношении уравнений Аппеля (5.61) необходимо сделать следующее замечание.

Для того, чтобы составить эти уравнения, достаточно вычислить функцию -энергию ускорения системы, но выразить ее нужно таким образом, чтобы она содержала вторые производные только от обобщенных координат вариации которых рассматриваются как независимые. Если же функция 5 будет содержать вторые производные вариации которых рассматриваются как зависимые, то их всегда можно исключить.

Действительно, из (5.51) имеем

Отсюда путем дифференцирования получаем выраженные линейным образом через .

В качестве примера на составление уравнений Аппеля рассмотрим плоское движение точки под действием силы проекции которой на оси декартовых координат равны X и Y.

Возьмем полярные координаты

Составим теперь функцию Дифференцируя написанные выше равенства, получаем

и

Отсюда находим

Напишем теперь выражение для элементарной работы в обобщенных координатах . Имеем

Но

где и — соответственно радиальная и трансверсальная составляющие силы F.

Обобщенные силы и будут равны

Теперь можно написать уравнения Аппеля:

Отсюда получаем уравнения движения:

Их можно было, конечно, получить и из уравнений Лагранжа, поскольку связи голономны.

1
Оглавление
email@scask.ru