§ 10. Уравнения Аппеля

Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек, положение которой в каждый момент времени определяется обобщенными координатами Координаты точки системы будут функциями обобщенных координат и времени

Действительные перемещения точек системы будут:

Напишем виртуальные перемещения точек системы

Пусть, далее, на систему наложено линейных неголономных связей вида

где — функции обобщенных координат и времени

Следовательно, не все допускаемые связями действительные перемещения в уравнениях (5.48) будут независимы между собой [поскольку они связаны условиями (5.50)].

Полагая, что линейная форма (5.50) разрешима,

определим из нее действительных перемещени рассматривая их как функци от остальных перемещений Тогда будем иметь

где и — функции обобщенных координат и времени :

Неголономные связи (5.50) при виртуальных перемещениях накладывают на вариации координат условия вида

и, следовательно, не все вариации в уравнениях (5.49) будут независимы между собой.

Определяя из однородной линейной формы вариаций получаем однородные линейные функции остальных вариаций

где .

Подставляя значения соответственно в уравнения (5.48) и (5.49), получаем для действительных перемещений и виртуальных перемещений следующие выражения:

где все , соответственно, теперь независимы, а — функции обобщенных координат и времени .

Обратимся теперь к общему уравнению динамики (2.13). Подставив в него найденные значения виртуальных перемещений получим его в следующей форме:

Обозначая

получаем

Из уравнений (5.54) находим

Дифференцируя, будем иметь

Из этих уравнений находим

Аналогично будем иметь

Подставляя найденные значения в левую часть равенства (5.57), получаем общее уравнение динамики в следующей форме:

Введем в рассмотрение функцию

где — абсолютное ускорение точки системы. Эту функцию по аналогии с кинетической энергией системы называют энергией ускорения. Тогда формулу (5.58) можно представить в таком виде:

Отсюда в силу независимости вариаций получаем

Уравнения (5.61), образующие систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, впервые были получены в Аппелем и носят его имя. Они имеют общую форму, пригодную как для голономных, так и для неголономных систем. Эта система уравнений (5.61) (по числу степеней

свободы рассматриваемой механической системы) совместно с дифференциальными уравнениями связей (5.50) образует систему дифференциальных уравнений, определяющих движение неголономной системы.

В случае голономных систем уравнения неголономных связей (5.50) отсутствуют и число степеней свободы равно Все вариации при этом независимы между собой. Число уравнений (5.61) в этом случае равно .

В отношении уравнений Аппеля (5.61) необходимо сделать следующее замечание.

Для того, чтобы составить эти уравнения, достаточно вычислить функцию -энергию ускорения системы, но выразить ее нужно таким образом, чтобы она содержала вторые производные только от обобщенных координат вариации которых рассматриваются как независимые. Если же функция 5 будет содержать вторые производные вариации которых рассматриваются как зависимые, то их всегда можно исключить.

Действительно, из (5.51) имеем

Отсюда путем дифференцирования получаем выраженные линейным образом через .

В качестве примера на составление уравнений Аппеля рассмотрим плоское движение точки под действием силы проекции которой на оси декартовых координат равны X и Y.

Возьмем полярные координаты

Составим теперь функцию Дифференцируя написанные выше равенства, получаем

и

Отсюда находим

Напишем теперь выражение для элементарной работы в обобщенных координатах . Имеем

Но

где и — соответственно радиальная и трансверсальная составляющие силы F.

Обобщенные силы и будут равны

Теперь можно написать уравнения Аппеля:

Отсюда получаем уравнения движения:

Их можно было, конечно, получить и из уравнений Лагранжа, поскольку связи голономны.