§ 8. Циклические координаты. Циклические интегралы

Отыскание первых интегралов уравнений движения представляет весьма важную задачу, поскольку знание этих интегралов упрощает дальнейшее интегрирование системы уравнений.

Среди первых интегралов особую роль играют интегралы, связанные с законами сохранения. Примером такого интеграла является обобщенный интеграл энергии, связанный с законом сохранения механической энергии. Обобщенный интеграл энергии, как было показано в предыдущем параграфе, существует тогда, когда функция Лагранжа не зависит явно от времени т. е. когда

Перейдем теперь к рассмотрению первых интегралов, связанных с законом сохранения количества движения. Эти интегралы существуют тогда, когда функция Лагранжа не зависит явно от какой-либо координаты.

Пусть, например, функция Лагранжа не зависит явно от некоторых обобщенных координат но содержит их обобщенные скорости Следуя Гельмгольцу, обобщенные координаты, которые не входят явно в функцию Лагранжа, называют циклическими.

Если число циклических коодинат равно то число обобщенных координат входящих явно в функцию Лагранжа, будет , следовательно, функция Лагранжа будет зависеть от , возможно, от времени

Частные производные от функции Лагранжа, взятые по какой-либо обобщенной скорости, носят название обобщенных импульсов, и обозначаются буквой

То обстоятельство, что функция Лагранжа не содержит явно обобщенных координат позволяет сразу найти первых интегралов. Действительно, из вида функции Лагранжа (5.42) следует, что

и потому из уравнений Лагранжа

получаем

где — постоянные величины.

Таким образом, обобщенные импульсы соответствующие циклическим координатам сохраняют постоянные значения. Равенства (5.43), связывающие обобщенные скорости, обобщенные координаты, время и постоянные интегрирования, являются интегралами уравнений движения. Их называют циклическими интегралами.

Рассмотрим несколько примеров. Свободная материальная точка. Для свободной материальной точки, на которую не действуют никакие силы, функция Лагранжа в декартовых координатах имеет вид

В данном случае все три координаты движущейся точки являются циклическими. Следовательно, можно сразу написать три циклических интеграла:

Эти интегралы выражают закон сохранения количества движения точки.

Материальная точка в поле силы тяжести. Направим ось вертикально вверх. Тогда функция Лагранжа будет иметь вид

Отсюда следует, что координаты х и у являются циклическими, и, следовательно, можно записать два циклических интеграла:

которые выражают закон сохранения количества движения точки в горизонтальной плоскости.

Полученный результат вытекает из однородности поля силы тяжести и связан с линейным преобразованием пространства путем параллельного переноса, вдоль осей х и у.

Следует отметить, что наличие циклических координат часто зависит от выбора координат. Например, в рассмотренном случае, когда ось была направлена параллельно силе тяжести, две координаты, а именно, х и у оказались циклическими. Если бы система координат была выбрана произвольно, то потенциальная энергия V зависела бы от всех трех координат и ни одна из них не оказалась бы циклической.

Движение материальной точки в поле силы тяжести в цилиндрических координатах. Решим теперь ту же задачу о движении точки в поле силы тяжести в цилиндрических координатах

В цилиндрических координатах функция Лагранжа имеет вид

Отсюда следует, что координата является циклической. Следовательно, соответствующий этой координате обобщенный импульс должен сохранять постоянное значение:

Этот циклический интеграл выражает закон сохранения площадей и связан с однородностью поля при его вращении вокруг оси Уравнения Лагранжа в этом случае будут инвариантны относительно вращения системы вокруг оси

Рассмотрим теперь случай, когда система обладает степенями свободы и все координаты, кроме одной, являются циклическими. Обозначим циклические координаты через Будем предполагать, что полная механическая энергия системы во время движения сохраняется неизменной. В этом случае кинетическая энергия системы будет однородной квадратичной функцией от обобщенных скоростей, а функция Лагранжа

будет иметь вид

где — функции только от обобщенной координаты Так как

то все обобщенные импульсы соответствующие циклическим координатам, сохраняют постоянные значения:

На основании (5.44) получаем следующую линейную относительно систему уравнений:

Из этой системы линейных уравнений можно определить обобщенные скорости которые будут функциями и постоянных

Нахождение обобщенной координаты сведется к одной квадратуре, если воспользоваться интегралом энергии:

куда вместо следует подставить функции

Определив из (5.46) обобщенную скорость получим ее как функцию от и постоянных: , т. е. будем иметь

Отсюда

Таким образом, получаем функциональную зависимость между обобщенной координатой и временем t.

После того как найдено циклические координаты находятся из (5.45) с помощью квадратур:

где — постоянные интегрирования.