Глава VI. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА

Метод Лагранжа позволяет свести проблему движения голономных систем к задаче интегрирования совокупной системы (по числу степеней свободы) дифференциальных уравнений второго порядка.

Гамильтон указал другой метод, который приводит к интегрированию совокупной системы уравнений первого порядка, которые благодаря своей простоте и симметрии получили название канонических уравнений.

Метод Гамильтона в силу свойств канонических уравнений является более сильным, чем метод Лагранжа.

§ 1. Функция Гамильтона

Состояние механической системы, имеющей степеней свободы, в каждый момент времени определяется величинами: обобщенными координатами определяющими положение системы, и обобщенными скоростями .

При таком выборе переменных роль характеристической функции играет функция Лагранжа равная .

Однако указанный выбор переменных, определяющих состояние системы, не является единственно возможным. Так, например, в качестве переменных, определяющих состояние системы, можно выбрать

по-прежнему обобщенных координат но вместо обобщенных скоростей взять обобщенные импульсы равные

Из уравнений Лагранжа при этом будем иметь

При таком выборе переменных роль характеристической функции будет играть функция Гамильтона определяемая с помощью соотношения

Эта функция, как будет показано, для консервативных систем имеет простой физический смысл, а именно, совпадает с полной механической энергией системы: .

Так как функция Гамильтона зависит от обобщенных координат и обобщенных импульсов (а не от обобщенных координат и обобщенных скоростей как функция Лагранжа L), то обобщенные скорости входящие в правую часть формулы (6.1), должны выражаться через обобщенные координаты и обобщенные импульсы что всегда выполнимо.

Действительно, если воспользоваться выражением для кинетической энергии (5.22), то легко увидеть, что обобщенные импульсы представляют линейные функции от обобщенных скоростей:

Так как определитель

этой линейной системы уравнений отличен от нуля (см. § 9 гл. V), то обобщенные скорости будут однозначно определены и выражены линейным образом через Таким образом, доказано, что функция Гамильтона может быть выражена через

Если обратиться к формуле (5.36) и воспользоваться функцией Гамильтона в форме (6.1), то легко показать, что

В случае, когда функция Лагранжа не зависит явно от времени имеем , следовательно, . Отсюда получаем закон сохранения: т. е. функция Гамильтона сохраняет постоянное значение равное обобщенному интегралу энергии (5.37).

Системы, для которых функция Лагранжа есть какая угодно функция от переменных носят название общих лагранжевых систем. Для таких систем, вообще говоря, функцию Лагранжа нельзя представить как разность между кинетической энергией Т и потенциальной энергией V.

Для консервативных же систем функция Лагранжа всегда может быть представлена как разность между кинетической энергией системы, представляющей однородную квадратичную функцию от обобщенных скоростей и потенциальной энергией, которая зависит лишь от обобщенных координат т. е.

где

В этом случае функция Гамильтона совпадает с полной механической энергией системы. Действительно, по определению функции Гамильтона

Но по теореме Эйлера об однородных функциях имеем

Таким образом, интеграл принимает форму закона сохранения полной механической энергии Е:

Рассмотрим несколько примеров на составление функции Гамильтона.

Пример 1. Составить функцию Гамильтона для свободной материальной точки, движущейся в консервативном поле.

Выполним это сначала в декартовых координатах. В рассматриваемом случае функция Гамильтона равна полной механической энергии точки:

где — потенциальная энергия точки.

Функция Лагранжа для рассматриваемого движения имеет вид

Находим обобщенные импульсы:

Здесь обобщенные импульсы совпадают с обычными импульсами сил.

Выражая скорости через импульсы получаем функцию Гамильтона в виде

Составим теперь функцию Гамильтона в цилиндрических координатах.

Так как квадрат скорости точки в цилиндрических координатах равен

то функция Лагранжа будет иметь следующий вид:

Находим обобщенные импульсы:

Отсюда, выражая обобщенные скорости через обобщенные импульсы получаем следующее выражение для функции Гамильтона в цилиндри ческих координатах:

Составим теперь функцию гамильтона в сферических координатах.

Квадрат скорости в сферических координатах равен

Следовательно, функция Лагранжа будет иметь вид

Обобщенные импульсы равны

Выражая обобщенные скорости, , через обобщенные импульсы получаем функцию Гамильтона для свободной материальной точки в сферических координатах:

Пример 2. Составить функцию Гамильтона для свободной материальной точки массы движущейся в поле центральных сил.

Так как под действием центральных сил точка совершает плоское движение, то удобно перейти к полярным координатам

Квадрат скорости в полярных координатах равен

Отсюда

Обобщенные импульсы равны:

и функция Гамильтона будет иметь вид

Примерз. Рассмотрим случай, когда функция Лагранжа не есть квадратичная функция скоростей и не представляет разность между кинетической и потенциальной энергиями. Пример подобного рода дает релятивистская механика, где функция Лагранжа для свободной точки имеет вид

Здесь — масса покоя, с — скорость света, — скорость точки.

Напишем функцию Гамильтона:

В рассматриваемом примере , следовательно,

Определим отсюда квадрат скорости

Подставляя теперь в функцию Гамильтона, находим

или окончательно