§ 2. Выражение принципа виртуальных перемещений в обобщенных координатах

Пусть конфигурация механической системы, равновесие которой рассматривается, в каждый момент времени определяется обобщенными координатами .

Полагая, что связи, наложенные на точки системы, удерживающие и идеальные, воспользуемся принципом виртуальных перемещений и обратимся к формуле (2.2).

Заменяя входящие в эту формулу вариации координат их значениями согласно (1.24), получаем

или

Изменив порядок суммирования и введя так называемые обобщенные силы определяемые соотношениями

получаем выражение принципа виртуальных перемещений в обобщенных координатах:

Если система голономна и все обобщенные координаты независимы между собой, то будут независимы и все виртуальные перемещения . Это означает, что равенство (2.6) может быть выполнено тогда и только тогда, когда все равны нулю, т. е.

Таким образом, необходимым и достаточным условием равновесия голономной системы, подчиненной стационарным, удерживающим и идеальным связям, является равенство нулю всех обобщенных сил соответствующих независимым обобщенным координатам .

В качестве иллюстрации применения принципа виртуальных перемещений в обобщенных координатах рассмотрим следующий пример.

На неподвижный идеально гладкий цилиндр с радиусом положены два стержня одинаковой длины и весом Р каждый, соединенные шарнирно в точке В (рис. 5). Найти возможные положения равновесия системы.

Рис. 5

В качестве обобщенной координаты, определяющей положение системы, примем угол Расстояние измеряемое по вертикали от уровня, проходящего через центр цилиндра О, до линии, соединяющей точки приложения сил, будет равно

Дадим системе виртуальное перемещение Расстояние при этом изменится на величину

Уравнение элементарных работ запишется в следующем виде:

Условие (2.6), которое в рассматриваемом случае имеет вид , дает

Так как то приходим к условию

Отсюда получаем для определения угла кубическое уравнение вида:

Решив его, найдем три значения для одно из которых может быть действительным, а два других мнимыми.