§ 7. Кинетические фокусы

Остановимся подробней на принципе Гамильтона и рассмотрим один вопрос, связанный с так называемыми кинетическими фокусами системы.

Согласно принципу Гамильтона, движение системы происходит по траектории (в пространстве конфигураций), для которой действие вычисленное вдоль этой траектории, имеет стационарное значение, по сравнению со значениями S, вычисленными в тех же пределах по варьированным траекториям, т. е.

Карл Густав Якоби обратил внимание на то, что рассматриваемый интеграл имеет значение минимума, но не при всяких пределах интегрирования и соответствующих переходу системы из одного положения в другое, а лишь в случае, когда рассматриваемые начальное и конечное положения системы достаточно близки друг к другу.

В том, что при произвольном выборе начального и конечного положения системы действие S не всегда имеет минимум, убеждает нас простой пример.

Рассмотрим движение материальной точки по поверхности сферы при отсутствии активных сил. При заданном начальном импульсе точка будет двигаться по дуге большого круга. Если рассматривать движение точки в пределах, соответствующих ее начальному положению А и конечному положению В (на концах одного и того же диаметра, рис. 10), то действие , вычисленное для указанных пределов, не будет иметь минимального значения. Причина этого состоит в том, что между точками А и В мыслимы две возможные траектории и Вопрос о том, какие пределы можно брать, чтобы не нарушить

принцип наименьшего действия Гамильтона, как уже указывалось, связан с вопросом о нахождении кинетических фокусов системы.

Под кинетическим фокусом В системы относительно точки понимают точку пересечения двух бесконечно близких траекторий, выходящих из данной точки . Точки иногда называют сопряженными точками системы.

Рис. 10

Рис. 11

Рассмотрим пучок траекторий, выходящий из точки . Выделим из этого пучка какую-нибудь траекторию 1 и рассмотрим близкие к ней траектории 2. Здесь могут встретиться два случая:

а) кривые 2 этого пучка нигде не пересекаются с кривой 1 (рис. 11, а) Тогда все рассматриваемые кривые этого пучка будут прямыми путями для данной системы;

б) кривая 2, близкая к кривой 1 пересекается с ней в точке (рис. 11, б). Тогда предельное положение точки (пусть это будет точка В) пересечения кривой 2 с кривой 1 при неограниченном приближении ее к кривой 1 будет являться кинетическим фокусом системы, сопряженным с точкой . В этом случае прямым путем системы по траектории 1 будет любая дуга от точки до кинетического фокуса В (случай, когда рассматриваемая дуга включает кинетический фокус, т. е. дуга — исключается). Только в этом случае принцип наименьшего действия Гамильтона

будет справедлив. Это означает, что функция действия вычисленная по прямому пути, будет иметь минимум всякий раз, когда пределы интегрирования не выходят за пределы дуги

Если же действие S вычислить по дуге кривой 1 (точка С находится за кинетическим фокусом В) или по дуге то не будет иметь минимума.

В рассмотренном выше примере с движением точки по сфере всякие две точки, лежащие на концах диаметра, будут сопряженными, т. е. точка В является кинетическим фокусом относительно точки А (рис. 10). В этом случае действие 5, вычисленное по дуге или не будет иметь минимума.

Рис. 12

Найдем теперь кинетические фокусы в случае движения точки в поле силы тяжести.

Пусть из точки А в вертикальной плоскости бросается множество материальных точек с одной и той же начальной скоростью под разными углами а к горизонту. Полученный таким образом плоский пучок траекторий при заданной величине энергии Е (поскольку все точки имеют одинаковые начальные скорости и выходят из одного и того же начального положения) будет представлять собой однопараметрическое семейство парабол, зависящих от угла а.

Совместим начало координат с точкой и направим ось у вертикально вверх (рис. 12). Уравнения движения точки будут

Это — уравнения параболы в параметрической форме. Исключив из них а, получим

Пусть х и у принимают какие-нибудь фиксированные значения Тогда из уравнения (3.13) можно определить время, в течение которого точка, выйдя из , придет в точку с координатами Имеем квадратное (относительно уравнение

Решая его, получаем два корня

При заданных значениях решение всегда можно сделать действительным, выбрав соответственным образом начальную скорость Для этого необходимо, чтобы выполнялось неравенство

Так как для времени получаются два действительных значения и то через точку с координатами пройдут две траектории из рассматриваемого семейства парабол. Следовательно, двигаясь по одной из них, скажем, траектории 7, точка достигнет пункта за время а двигаясь по другой, траектории 2, достигнет того же пункта за время Для нахождения кинетического фокуса на траектории 1 поступим следующим образом. Рассмотрим две близкие траектории 1 и 2, соответствующие двум близким углам бросания а. Фиксируя затем траекторию 7, будем, непрерывно изменяя угол бросания, неограниченно приближать к ней траекторию 2. Положение точки пересечения обеих траекторий

будет при этом непрерывно меняться, и в пределе, когда траектория 2 сольется с траекторией 7, точка займет на траектории 7 некоторое предельное положение В (рис. 12), которое и определит кинетический фокус. Для нахождения координат кинетического фокуса В воспользуемся очевидным условием Оба корня уравнения (3.14) совпадут, если дискриминант этого уравнения будет равен нулю: Из этого уравнения и уравнения траектории 7 можно найти координаты кинетического фокуса В.

Если в уравнении (3.15) координаты рассматривать как текущие, не связывая их с какой-либо определенной траекторией, то его можно трактовать как уравнение геометрического места кинетических фокусов, сопряженных с точкой .

Опуская индекс 5, получаем из (3.15) уравнение геометрического места кинетических фокусов:

Это есть уравнение огибающей рассматриваемого семейства парабол (так называемая «парабола безопасности»).

Мы рассматривали плоский пучок траекторий. Если же рассматривать пространственный пучок траекторий, то геометрическим местом кинетических фокусов, сопряженных с точкой , будет поверхность параболоида вращения, получаемого путем вращения параболы безопасности (3.16) вокруг вертикальной оси.

Вернемся снова к рис. 12. Из точки в точку можно попасть, двигаясь по двум траекториям: по траектории и по траектории 2. Прямым путем здесь будет путь по траектории 2, так как, двигаясь вдоль нее, мы не переходим кинетического фокуса. Если же двигаться из А в по траектории 7, то мы переходим через кинетический фокус (точка В). Поэтому в первом случае (при движении по кривой 2) функция будет иметь минимум, а во втором случае (при движении по кривой будет иметь минимума,