§ 4. Движение точки по инерции

Рассмотрим теперь движение по инерции одной материальной точки массой .

В этом случае из принципа стационарного действия в форме Якоби (3.11 имеем

т. е. точка будет двигаться по кратчайшему расстоянию между точками А и В. Если точка свободна, то она будет двигаться по прямой линии. Если же она не свободна и вынуждена двигаться по какой-либо поверхности, то она будет двигаться по геодезической линии.

Рассмотрим теперь с помощью принципа Гамильтона движение точки по инерции. Имеем

Так как потенциальная энергия V сохраняет постоянное значение, а кинетическая энергия равна то принцип Гамильтона приводит к условию

или к условию

т. е. скорость точки должна быть минимальной.

Полученный результат показывает, что из всех кинематически возможных движений по инерции действительное движение точки будет таким, при котором ее скорость будет минимальной. Напомним, что в принципе Гамильтона время не варьируется, и при переходе точки из положения А в положение В оно остается одним и тем же. Следовательно, также будет минимальным, т. е. точка будет двигаться по геодезической линии.

Рассмотрим теперь эту же задачу, исходя из принципа стационарного действия в форме Лагранжа:

Так как в принципе стационарного действия в форме Лагранжа сравниваются изоэнергетические движения, то кинетическая энергия будет постоянна

(поскольку постоянны Е и V) и, следовательно, скорость точки будет оставаться неизменной. Другими словами, сравниваются движения, при которых скорость точки остается постоянной, а время — переменным. Принцип стационарного действия в форме

Лагранжа в этом случае приводит к условию

Следовательно, время в течение которого точка, двигаясь с постоянной скоростью переходит из положения А в положение 5, должно быть минимальным.

Путь также будет минимальным, а это означает, что точка будет двигаться по геодезической линии.