§ 6. Устойчивость равновесия. Теорема Лагранжа

Устойчивость равновесия системы можно рассматривать подобно тому, как мы рассматривали устойчивость движения, поскольку состояние равновесия есть частный случай движения, когда конфигурация системы относительно выбранной системы координат остается неизменной и скорости всех точек равны нулю.

Будем рассматривать голономную систему, подчиненную стационарным идеальным связям и находящуюся под действием потенциальных сил.

Обозначим через обобщенные координаты, определяющие конфигурацию системы в момент временив, а через — соответственно обобщенные скорости и обобщенные импульсы. Эти же величины в состоянии равновесия обозначим через Не нарушая общности, можно принять,

что все равны нулю, а в силу того, что система находится в равновесии, будем иметь , а следовательно, и Таким образом,

Приняв величины в качестве независимых переменных, будем описывать движение рассматриваемой системы с помощью канонических уравнений Гамильтона:

где — функция Гамильтона.

Кинетическая энергия системы поскольку связи стационарны, будет представлять определенно положительную квадратичную форму от обобщенных скоростей (5.23), и ее значение в состоянии равновесия будет равно нулю:

Потенциальную энергию V будем считать зависящей от обобщенных координат и поскольку она определяется с точностью до аддитивной постоянной, ее всегда можно нормировать таким образом, чтобы ее значение в положении равновесия было равно нулю, т. е.

Тогда значение функции Гамильтона в состоянии равновесия также будет равно нулю:

Необходимым условием равновесия является условие обращения в нуль обобщенных сил

Таким образом, условием равновесия является условие стационарности функции

Чтобы решить вопрос о том, является ли данное положение равновесия устойчивым или, наоборот, неустойчивым, выведем систему из положения равновесия, сообщив ее точкам малые смещения и малые начальные скорости. Выйдя из состояния равновесия, система придет в движение, описываемое уравнениями Гамильтона.

Если рассматривать устойчивость равновесия по отношению к обобщенным координатам и обобщенным импульсам или, что то же, по отношению к обобщенным координатам и обобщенным скоростям (поскольку для рассматриваемой консервативной системы обобщенные импульсы выражаются линейным образом через обобщенные скорости, и наоборот), то уравнения движения Гамильтона будут представлять уравнения возмущенного движения, а нулевое решение будет соответствовать невозмущенному состоянию, каким в данном случае является состояние равновесия. Имеет место следующая теорема Лагранжа: если в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный минимум, то такое положение равновесия устойчиво.

Другими словами, если условия (10.25) выражают условия изолированного минимума функции то положение равновесия является устойчивым.

Для доказательства теоремы Лагранжа воспользуемся теоремой Ляпунова об устойчивости движения.

Возьмем в качестве функции Ляпунова функцию Гамильтона . Если условия теоремы Лагранжа выполнены, то в окрестности нулевой точки в -мерном пространстве состояний Функция Гамильтона будет определенно положительной, а ее полная производная

по времени в силу консервативности системы будет тождественно равна нулю, т. е. . Таким образом, условия теоремы Ляпунова выполнены, и нулевое решение будет устойчиво, что и доказывает теорему Лагранжа.

Обращением теоремы Лагранжа, т. е. теоремы, утверждающей, что если потенциальная энергия V в положении равновесия не имеет минимума, то состояние равновесия будет неустойчивым, занимались многие ученые (Адамар, Пенлеве, Ляпунов А. М., Четаев Н. Г. и др.).

А. М. Ляпунов рассматривал случай, когда разложение силовой функции в окрестности положения равновесия имеет вид

где — форма степени относительно переменных . А. М. Ляпунов показал, что если в положении равновесия, определенном уравнениями силовая функция не есть максимум и если это обнаруживается тем обстоятельством, что квадратичная форма может становиться положительной, то это положение равновесия неустойчиво.

Н. Г. Четаев доказал справедливость обращения теоремы Лагранжа для случая, когда потенциальная энергия V представляет некоторую однородную функцию степени относительно переменных и когда при этом для сколь угодно малых по абсолютной величине значений переменных она может принимать положительные значения.

Позднее справедливость обращения теоремы Лагранжа была доказана Н. Г. Четаевым для общего

случая, когда силовая функция является аналитической и не имеет изолированного максимума в положении равновесия.