§ 2. Принцип переменного действия

Принцип переменного действия является расширением принципа стационарного действия Гамильтона. Чтобы лучше уяснить разницу между этими принципами, обратймся сначала к принципу Гамильтона.

В принципе Гамильтона, как известно, сравниваются движения системы между двумя заданными положениями для двух различных моментов времени . В пространстве эти положения определяются точками Принцип стационарного действия утверждает, что для действительного движения функция действия

имеет стационарное значение и, следовательно,

Однако принцип Гамильтона ничего не говорит о том, каково будет изменение функции действия , если от рассматриваемого действительного движения между точками перейти к другому, тоже действительному движению между точками

полученному в результате варьирования начального и конечного положений системы, т. е. в результате варьирования обобщенных координат (рис.23). Ответ на этот вопрос дает принцип переменного действия.

Рис. 23

Рассмотрим вариацию функции действия (при ):

Поступая аналогично тому, как мы это делали при выводе уравнений Лагранжа, т. е. интегрируя по частям второе слагаемое, стоящее под знаком интеграла, и пользуясь тем, что , получаем

Так как в принципе переменного действия рассматриваются действительные движения, то обобщенные координаты должны удовлетворять уравнениям движения в форме Лагранжа

и, следовательно, интеграл в формуле (7.4) обращается в нуль, а выражение для вариации функции действия 85 принимает следующий вид:

где — обобщенные импульсы (индексы (1) и (2) означают, что эти величины следует брать соответственно в начале в конце рассматриваемого движения).

Соотношение (7.5) и выражает принцип переменного действия. Таким образом, принцип переменного действия устанавливает вариацию функции действия по Гамильтону при переходе от одного действительного движения к другому близкому и тоже действительному движению, полученному в результате варьирования начального и конечного положений системы.

В частности, если все равны нулю, то и мы приходим к принципу Гамильтона. Поэтому принцип переменного действия можно рассматривать как обобщение принципа стационарного действия Гамильтона.

Напишем теперь главную функцию Гамильтона для рассматриваемого движения:

Взяв вариацию этой функции при получим

Сравнивая формулы (7.5), (7.6) и учитывая независимость вариаций находим

Таким образом, частные производные от главной функции Гамильтона взятые по обобщенным координатам

для конечного положения системы, равны соответствующим обобщенным импульсам а производные от по для начального положения системы равны соответствующим импульсам взятым с обратным знаком.

Главная функция Гамильтона для свободной точки, движущейся по инерции. Функция Лагранжа для свободной материальной точки массы движущейся по инерции, в декартовых координатах имеет вид

Напишем функцию действия

Для свободной точки, движущейся по инерции, имеем

и, следовательно,

Таким образом, находим

Полагая для простоты будем иметь

и

Это и есть выражение для главной функции Гамильтона в случае свободной точки, движущейся по инерции.

Дифференцируя, находим

и

Аналогичные выражения можно получить и для координат у и z.

Главная функция Гамильтона в случае центрального движения точки. Рассмотрим плоское движение материальной точки массы притягиваемой к неподвижному центру О силой, прямо пропорциональной расстоянию от движущейся точки до центра. Коэффициент пропорциональности пусть равен

Отнесем движение к прямоугольной системе координат начало которой совместим с притягивающим центром О.

Уравнения движения будут иметь вид

Это — уравнения свободных колебаний. Интегрируя их, находим

где — постоянные интегрирования.

Определим кинетическую и потенциальную энергию точки.

Проекции скорости на оси координат равны

Следовательно,

и

Теперь можно написать функцию Лагранжа:

Подставляя сюда полученные выше выражения для , получаем после несложных преобразований

Найдем функцию действия

Отсюда после интегрирования получаем

Используем теперь начальные условия. В момент имеем , следовательно,

Таким образом,

Обратимся теперь к формулам (7.8). Имеем

Отсюда находим

Подставляя найденные значения и в выражение для S

и приводя подобные члены, получаем

или

Это и есть главная функция Гамильтона для рассматриваемого движения.

Найдем частные производные от главной функции Гамильтона по координатам. Имеем

Подставляя сюда после элементарных преобразований получаем

Аналогично находим

т. е. частная производная от главной функции Гамильтона по координате равна соответствующему импульсу. Далее имеем

и

Подставляя сюда получаем

и

т. е. рассматриваемые частные производные равны начальным импульсам точки, взятым с обратным знаком.