§ 5. Дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби

С главной функцией Гамильтона

связан один метод интегрирования уравнений движения, который приводит к интегрированию одного уравнения в частных производных; оно известно под названием уравнения Гамильтона — Якоби.

Для вывода этого уравнения обратимся к функции действия, где верхний предел будем рассматривать как переменный:

Рассматривая интеграл как функцию верхнего предела, будем иметь

С другой стороны, если действие рассматривать в форме главной функции Гамильтона (7.16), то полная производная от этой функции по времени [вследствие того, что входит как явно, так и неявно через обобщенные координаты ] будет равна

Заменяя здесь функцией Лагранжа , а частные производные от главной функции Гамильтона по обобщенным координатам — обобщенными импульсами , т. е. полагая получаем

что с помощью функции Гамильтона

может быть переписано в такой форме:

Заметим, что это соотношение было получено нами ранее [см. (7.14)] при рассмотрении производных от главной функции Гамильтона

Если теперь в функции Гамильтона Н, входящей в формулу (7.18), заменить обобщенные импульсы производными то получим уравнение Гамильтона — Якоби:

В этом уравнении неизвестной является функция , зависящая от переменных: времени и обобщенных координат .

Уравнение Гамильтона — Якоби (7.19) есть нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка (поскольку в него входят лишь первые производные от второй степени (так как функция Гамильтона Н есть квадратичная функция от обобщенных импульсов .

Как известно из теории дифференциальных уравнений, общий интеграл уравнения в частных производных зависит от произвольной функции. Однако при интегрировании уравнений в частных производных больший интерес представляет не общий интеграл, а полный интеграл, так как с его помощью можно получить полную систему независимых интегралов рассматриваемого уравнения.

Напомним определение полного интеграла. Для простоты рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка относительно искомой функции зависящей от двух независимых переменных т. е. уравнение вида

где — частные производные от искомой функции по независимым переменным х и у:

Под полным интегралом уравнения (7.20) понимают зависящий от двух произвольных постоянных (по числу независимых переменных) интеграл

обладающий тем свойством, что путем исключения постоянных из уравнения (7.21) и уравнений

получается уравнение (7.20) и только это уравнение. Это означает, что функциональный определитель должен быть отличен от нуля:

Если теперь для дифференциального уравнения с частными производными

в котором неизвестная функция не содержится явно, известен интеграл

содержащий одно произвольное постоянное не входящее аддитивно, и обладающий тем свойством, что из уравнений

путем исключения постоянной о получается уравнение (7.23), то выражение

С произвольными постоянными и из которых одна входит аддитивно, представляет полный интеграл уравнения (7.23).

Обратимся теперь к уравнению (7.19). Так как для функции , входящей в уравнение Гамильтона — Якоби (7.19), независимыми переменными являются время и обобщенные координаты (предполагается, что рассматриваемая голономная система обладает степенями свободы), то полный интеграл будет содержать произвольных постоянных , одна из которых, например, будет входить аддитивно, поскольку уравнение (7.19) не содержит явно функции (она входит в уравнение лишь своими производными). Следовательно, полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби будет иметь следующий вид:

При этом должно выполняться условие: