§ 5. Бесконечно малые канонические преобразования

Рассмотрим каноническое преобразование, при котором переменные изменяются на бесконечно малую величину. Такое преобразование носит название бесконечно малого канонического преобразования. Его можно представить в следующем виде:

где — некоторые функции от переменных — произвольная бесконечно малая величина. Очевидно, при произвольном выборе функций преобразование (8.44) не будет каноническим.

Найдем условия, которым должны удовлетворять функции чтобы преобразование (8.44) было каноническим.

Пользуясь тождеством

и подставляя в его правую часть

и

получаем

Выполняя приведение подобных членов и отбрасывая члены, содержащие находим

что можно преобразовать к такому виду:

Меняя порядок суммирования и дифференцирования во второй сумме и перенося ее в правую часть равенства, получаем

где

Так как

то из равенства (8.46), в силу независимости величин находим

и, следовательно, бесконечно малое каноническое преобразование будет иметь вид

Здесь — произвольная функция от переменных играющая роль производящей функции для рассматриваемого преобразования, а бесконечно малая величина, не зависящая от .

Определим изменение какой-либо функции к которой применено бесконечно малое каноническое преобразование (8.47). Имеем

где — величина, имеющая порядок малости .

Пользуясь скобами Пуассона и отбрасывая члены выше первого порядка малости относительно находим

или

Особый интерес представляет тот случай бесконечно малого канонического преобразования, когда в качестве производящей функции 2 берется функция Гамильтона принимается равным бесконечно малому интервалу времени . Полагая, следовательно,

получаем следующие формулы для бесконечно малого канонического преобразования:

На основании канонических уравнений Гамильтона имеем

Следовательно, бесконечно малое каноническое преобразование для рассматриваемого случая можно записать в следующем виде:

т. е. координаты и импульсы изменяются при этом так, что принимают значения . Это означает, что изменение за время

состояния системы, определяемого величинами можно получить с помощью бесконечно малого канонического преобразования, при котором роль производящей функции играет функция Гамильтона Поэтому движение системы можно рассматривать как бесконечную последовательность бесконечно малых канонических преобразований, осуществляемых посредством функции Гамильтона, как производящей функции.

Если к системе применить последовательно два канонических преобразования, то в результате мы снова получим каноническое преобразование.

Таким образом, если рассмотреть два состояния системы, определяемые параметрами и соответствующие моментам времени то переход системы из одного состояния в другое можно осуществить каноническим преобразованием.

Пример 1. Найти постоянные при которых преобразование вида

было бы каноническим.

Поскольку формулы преобразования не содержат явно времени то рассматриваемое преобразование будет вполне каноническим.

Чтобы преобразование (8.48) было каноническим, необходимо, чтобы выражение

было полным дифференциалом некоторой функции V:

Но

и, следовательно,

Это выражение будет являться полным дифференциалом, если

Выполнив дифференцирование и приведение подобных членов, найдем

Отсюда в силу произвольности необходимо, чтобы Таким образом,

и рассматриваемое каноническое преобразование имеет вид

Это преобразование было применено Пуанкаре к задачам небесной механики.

Пример 2. Показать, что преобразование

является каноническим. Так как

то

и

Полученное выражение представляет полный дифференциал, так как

и

Таким образом, доказано, что преобразование (8.49) является каноническим.

Пример 3. Получить тождественное преобразование.

Рассмотрим каноническое преобразование, определяемое производящей функцией вида

На основании формул § 3 данной главы имеем

Таким образом, новые координаты совпадают со старыми координатами а новые импульсы старыми импульсами

Поскольку производящая функция не зависит явно от времени то рассматриваемое преобразование будет вполне каноническим, и новая функция Гамильтона будет совпадать с первоначальной функцией Гамильтона Н.

В силу сказанного, преобразование (8.50) будет тождественным.

Пример 4. Рассмотреть преобразование, определяемое производящей функцией вида

На основании формул § 3 данной главы имеем

и

Видим, что при этом преобразовании координаты и импульсы меняются местами. Это указывает на полное равноправие координат и импульсов, вследствие чего их часто называют не обобщенными координатами и обобщенными импульсами, а просто сопряженными каноническими переменными.

Пример 5. Показать, что для однородных канонических преобразований

(кликните для просмотра скана)