§ 5. Принцип стационарного действия Мопертюи—Лагранжа

Будем рассматривать голономную систему с степенями свободы, движущуюся в консервативном поле.

Движение этой системы можно рассматривать как движение изображающей точки в -мерном пространстве конфигураций (см. § 1, гл. III).

Рис. 9

Пусть двум конфигурациям системы в пространстве соответствуют точки Переход системы из положения Л в положение В для действительного движения будет происходить по прямому пути, которому в пространстве конфигураций соответствует некоторая кривая (кривая 1 на рис. 9). Действительное движение по прямому пути сравнивается с совокупностью изоэнергетических варьированных движений, совместимых с наложенными связями, при которых система из положения переходит в положение В по окольному пути (кривая 2 на рис. 9). Интеграл

где — кинетическая энергия системы, называется действием по Лагранжу.

Действие является некоторым функционалом поскольку его значение зависит от выбора пути, по которому происходит перемещение системы из положения А в положение В.

Согласно принципу стационарного действия Мопертюи—Лагранжа, действительное движение системы при перемещении ее из положения в положение В происходит в пространстве конфигураций по такой кривой для которой действие по Лагранжу имеет стационарное значение по сравнению с теми значениями, которые это действие принимает для варьированных изоэнергетических движений системы, переводящих ее из положения А в положение В по кривым сравнения (окольные пути), близким к кривой (прямой путь).

В принципе стационарного действия Мопертюи — Лагранжа варьированию подлежат как обобщенные координаты так и время (в отличие от принципа Гамильтона, где варьированию подлежат лишь координаты так как при одной и той же величине энергии Е, время, в течение которого система перейдет из положения А в положение 5, будет зависеть от кривой сравнения Поэтому для стационарности интеграла (3.7) необходимо, чтобы его полная вариация была равна нулю:

где означает полную вариацию.

Для консервативных систем можно весьма просто установить связь между функцией действия 5 по Гамильтону

и функцией действия по Лагранжу. Замечая, что , после исключения функции V, получим:

Интеграл, стоящий в правой части, есть функция действия по Лагранжу. Следовательно,

Принцип стационарного действия Гамильтона является более общим, чем принцип стационарного действия Мопертюи — Лагранжа, поскольку последний сформулирован лишь для динамических систем, для которых справедлив закон сохранения полной механической энергии . В принципе же Гамильтона никаких условий относительно изменения полной механической энергии Е не ставится.