§ 4. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости

Если невозмущенное движение устойчиво и, кроме того, при неограниченном возрастании времени все возмущения по абсолютной величине неограниченно уменьшаются, т. е.

то говорят, что возмущенное движение асимптотически приближается к невозмущенному, или просто, что невозмущенное движение обладает асимптотической устойчивостью.

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости формулируется следующим образом: если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, допускающую бесконечно малый высший предел, такую, что ее производная V в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией противоположного знака с V, то возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, будет приближаться к нему асимптотически.

Допустим, что V — знакоопределенная положительная функция, допускающая бесконечно малый высший предел, а V в силу уравнений возмущенного движения является знакоопределенной отрицательной функцией.

Следовательно, согласно определению знакоопределенной функции, существуют такие не зависящие от времени функции

что при выполнении условий

будут иметь место следующие неравенства:

Рассмотрим гиперсферу

где — некоторое произвольно малое положительное число, меньшее Н. Пусть есть точная низшая граница значений на гиперсфере (10.21). Выберем число таким образом, чтобы в область изменения переменных

не проникала ни одна точка поверхности

Тогда для любых начальных возмущений лежащих в области

нельзя найти такого положительного числа чтобы при выполнялось неравенство

Действительно, если бы для некоторой системы значений удовлетворяющих условию (10.22), существовало такое число то в силу того, что функция V допускает бесконечно малый высший предел, нашлось бы такое число а, что для переменных удовлетворяющих условию

выполнялось бы неравенство

Следовательно, для того чтобы выполнялось неравенство (10.23), необходимо чтобы область изменения переменных определялась условием

Пусть точная низшая граница функции для области изменения переменных удовлетворяющих условию (10.24), будет . Так как есть определенно положительная функция, , следовательно, на основании (10.20) имеем

Далее, из уравнения

получаем

что приводит противоречию, так как по условию есть определенно положительная функция, а правая часть при

где становится отрицательной.

Таким образом, нельзя указать такого числа как бы мало оно ни было, чтобы для всех выполнялось неравенство (10.23). Это означает, что как бы мало ни было число всегда наступит момент, когда функция станет меньше, чем у и в дальнейшем с возрастанием будет оставаться меньше, чем так как V есть убывающая функция Остается еще показать, что если система начальных возмущений принадлежит области X, т. е. если выполняется условие (10.22), то значения переменных при неограниченном возрастании стремятся к нулю:

Пусть есть значение точной низшей границы функции когда переменные изменяются в области

По доказанному выше всегда наступит такой момент когда станет меньше и будет оставаться меньше Начиная с момента значения переменных будут все время оставаться внутри области

а это и доказывает, что так как число может быть сделано сколь угодно малым.

Пример. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид

Рассмотрим определенно положительную функцию . Ее производная V в силу уравнений возмущенного движения будет равна

Если

то

Условия теоремы Ляпунова, таким образом, выполнены, и невозмущенное движение будет асимптотически устойчивым.