§ 7. Случай консервативной системы

Рассмотрим случай, когда функция Гамильтона Н не зависит явно от времени как это имеет место, например, в консервативных системах. В этом случае функция Гамильтона будет зависеть лишь от обобщенных координат и обобщенных импульсов

Уравнение Гамильтона—Якоби (7.19) будет при этом иметь следующий вид:

Так как в это уравнение время явно не входит, то число независимых переменных может быть уменьшено на единицу. Полагая

где — постоянная, будем иметь

и, следовательно, дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби (7.36) будет иметь следующий вид:

Полный интеграл уравнения (7.37) будет зависеть от постоянных из которых одна, например, будет входить как аддитивная постоянная. Это вытекает из того факта, что в уравнение (7.37) сама функция не входит, а входят лишь ее производные , следовательно, функция определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Таким образом, полный интеграл уравнения (7.37) будет иметь вид

Зная полный интеграл уравнения (7.37), можно написать полный интеграл уравнения (7.36). Он будет иметь следующий вид:

Отсюда на основании теоремы Якоби легко написать полную систему независимых интегралов уравнений движения. Пользуясь формулами (7.26) и (7.27), находим

и

Отсюда следует, что

где — произвольная постоянная, которая может быть взята в качестве начала отсчета времени.

Уравнения (7.40) не содержат в явном виде времени Первая группа уравнений (7.40) служит для нахождения обобщенных импульсов Вторая же группа уравнений (7.40) может быть представлена в следующем виде:

Определяя из этих уравнений обобщенные координаты в виде Функций от координаты и постоянных и получаем

Эти уравнения можно трактовать как уравнения траектории изображающей точки при ее движении в пространстве конфигураций. Уравнение (7.41) будет при этом изображать временную зависимость при движении изображающей точки М по траектории.