§ 3. Вывод уравнений Гамильтона из принципа Гамильтона

Канонические уравнения (6.11) могут быть получены также непосредственно из принципа Гамильтона.

Запишем вариационный принцип Гамильтона с помощью функции , для чего воспользуемся соотношением

Следовательно, действие по Гамильтону запишется так:

Таким образом, принцип Гамильтона сводится к условию стационарности интеграла:

Так как варьирование здесь является изохронным то операции варьирования и интегрирования коммутативны и, следовательно,

что может быть представлено в такой форме:

Интегрируя первое слагаемое по частям и учитывая, что

(так как ), получаем

Первое слагаемое обращается в нуль, так как вариации координат на концах интервала равны нулю. Следовательно,

Подставляя найденное значение интеграла в формулу (6.13), после приведения подобных членов получаем

что после изменения порядка суммирования и интегрирования дает

Строго говоря, вариации не являются здесь независимыми; они связаны временной зависимостью. Поэтому приравнивать нулю выражения, стоящие в круглых скобках, что сразу привело бы к каноническим уравнениям Гамильтона, нельзя.

Однако к этому результату можно придти из следующих рассуждений. Возьмем частную производную по обобщенному импульсу от функции

Тогда будем иметь

Но так как

то окончательно получим

Следовательно, первая скобка под знаком интеграла обращается в нуль. Но в силу независимости вариаций приходим к выводу, что и вторая скобка равна нулю, т. е.

Таким образом, мы приходим к каноническим уравнениям Гамильтона:

В результате интегрирования этой системы уравнений получаем в виде функций от времени и произвольных постоянных

Если функция Гамильтона Н не зависит явно от времени (консервативные системы), то в уравнения Гамильтона оно будет входить лишь в виде дифференциала Это означает, что одна из постоянных интегрирования будет связана со временем аддитивно и, следовательно, решение в этом случае будет иметь вид

Здесь по-прежнему будем иметь произвольных постоянных: .