Глава IV. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИНЦИПА СТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ

§ 1. Задача о траекториях

В качестве одного из приложений принципа стационарного действия рассмотрим задачу о нахождении траекторий при движении точки в консервативном поле.

Для простоты рассмотрим плоскую задачу.

Пусть точка М массой движется по плоскости в консервативном поле, и, следовательно, ее потенциальная энергия V есть функция положения точки:

Требуется определить уравнение траектории, которую опишет точка М при ее перемещении из положения в наперед заданное положение

Если из положения А пустить плоский пучок точек одинаковой массы с различными начальными скоростями то через наперед заданное положение пройдет лишь та точка, которая получила соответствующую начальную скорость Это в конечном счете приводит к заданию начального значения полной механической энергии

Но так как при движении точки в консервативном поле имеет место закон сохранения механической энергии, то речь, следовательно, будет идти о нахождении траектории, проходящей между двумя точками при условии сохранения полной механической энергии: .

Для решения рассматриваемой задачи воспользуемся принципом стационарного действия в форме

Якоби (3.12). Имеем

Заменяя в этом интеграле элемент дуги его значением

и отбрасывая постоянный множитель напишем условие экстремума интеграла

где

Таким образом, отыскание траекторий рассматриваемой задачи сводится к отысканию экстремалей вариационной задачи (4.1).

Составим дифференциальное уравнение Эйлера

и выпишем значения производных:

Подставляя найденные значения производных в уравнение Эйлера, приводя подобные члены и сокращая на неравный нулю множитель , получаем дифференциальное уравнение траекторий в следующей форме

Этому уравнению можно дать простую геометрическую трактовку, если заметить, что правая часть представляет собой произведение на кривизну кривой

а левая — производную по нормали к траектории. Действительно,

Следовательно, дифференциальное уравнение траекторий может быть записано так:

Это уравнение представляет, в сущности, не что иное, как одно из естественных уравнений движения в форме Эйлера. Чтобы это показать, введем в рассмотрение радиус кривизны траектории и проекцию действующей силы на нормаль

Зная, что и подставляя указанные величины в формулу (4.4), получаем

а это есть уравнение движения в проекции на нормаль к траектории. Вернемся теперь к уравнению (4.3). Сокращая обе части на множитель получаем дифференциальное уравнение траекторий

Его можно привести к иному виду, если ввести функцию

Тогда получим

Так как дифференциальное уравнение траекторий (4.5) или (4.6) является уравнением второго порядка и содержит энергию Е как параметр, то общий интеграл его будет зависеть от параметра Е и двух постоянных интегрирования

Таким образом, при движении точки в плоскости мы будем иметь траекторий, а при заданной величине энергии Е будем иметь траекторий.

1. Определение траекторий в однородном поле силы тяжести. Однородное поле силы тяжести является консервативным и движение в нем всегда плоское. Оно происходит в вертикальной плоскости (ось у мы направляем вертикально вверх), содержащей вектор начальной скорости . При этих условиях мы можем воспользоваться полученными выше результатами.

В однородном поле силы тяжести потенциальная энергия V есть функция только высоты у:

Подставляя это значение V в уравнение (4.5) и замечая, что

получаем дифференциальное уравнение траекторий в поле силы тяжести

Так как полученное уравнение не содержит явно переменной , то оно легко интегрируется с помощью подстановки приводящей его к уравнению с разделяющимися переменными. Однако еще проще уравнение (4.7) интегрируется, если его предварительно продифференцировать. Проделав это, будем иметь

Производя сокращение и замечая, что

получаем дифференциальное уравнение траекторий в поле силы тяжести в виде

Отсюда после интегрирования находим

Таким образом, искомые траектории представляют семейство парабол с вертикальной осью.

Для того чтобы из этого семейства парабол выбрать траекторию, проходящую через две точки составляем два уравнения:

Для получения третьего уравнения воспользуемся уравнением траекторий в форме (4.7). Так как

то после подстановки этих выражений и выражения у из (4.8) в уравнение (4,7), получим

что после раскрытия скобок дает

Постоянная с является несущественной и ее можно сделать равной нулю, если начало координат поместить в точку А. Тогда будем иметь

Таким образом, приходим к следующему соотношению:

Так как , то все параболы (4.8) будут обращены выпуклостью вверх.

2. Определение траекторий в центральном поле. Рассмотрим задачу об определении траекторий при движении точки массой в центральном поле. Потенциальная энергия V будет функцией только расстояния точки от некоторого неподвижного центра О, т. е. Начало координат возьмем в точке О.

Так как движение точки будет плоским (это непосредственно следует из закона сохранения момента количества движения точки относительно центра О), то удобно перейти к полярным координатам

Элемент дуги в полярных координатах равен

и принцип стационарного действия в форме Якоби принимает вид

Напишем условие экстремума этого интеграла:

Для нахождения экстремалей составим уравнение Эйлера

Выпишем значения производных:

Подставляя их в уравнение Эйлера, после упрощений получаем

Это есть дифференциальное уравнение траекторий при движении точки в центральном поле. Величина энергии Е входит в уравнение (4.9) как параметр. Следовательно, траектории представляют семейство кривых, зависящее от параметра Е.

Общий интеграл уравнения (4.9) будет зависеть от параметра Е и постоянных интегрирования

Во многих случаях уравнению (4.9) бывает удобно придать иной вид. Применяя подстановку получаем

Подставляя эти выражения в уравнение (4.9), получаем следующее дифференциальное уравнение траекторий:

Уравнение (4.10) можно проинтегрировать. Для этого сделаем подстановку

Дифференцируя по и рассматривая как сложную функцию, находим

что после подстановки в уравнение (4.10) дает или, разделяя переменные,

Интегрируя, находим

где постоянная интегрирования, которая, как легко видеть, должна быть положительна.

Возвращаясь теперь к переменной , получаем

и

где — координаты точки в момент

Таким образом, задача о нахождении траекторий при движении точки в центральном поле полностью решается в квадратурах.

Выясним физический смысл постоянной а. Разность равна кинетической энергии Т:

следовательно,

Далее, вычисляем Имеем

и, следовательно,

Подставив найденные значения в формулу (4.11), после сокращений найдем

Отсюда видим, что выражение равное удвоенной секторной скорости точки, сохраняет постоянное значение. Обозначая получаем

т. е. а с точностью до постоянного множителя выражает секторную скорость точки.

В качестве примера определим траекторию при движении точки в центральном поле, если потенциальная энергия равна

Подставляя значение в формулу (4.12) и обозначая постоянную интегрирования через получаем

что после интегрирования дает

или

Переходя от получаем уравнение траектории в полярных координатах

Постоянная определится из условия прохождения траектории через заданную точку с координатами

3. Центральное поле с кулоновским взаимодействием. В случае кулоновского взаимодействия потенциальная энергия изменяется обратно пропорционально расстоянию

где А — постоянная.

Полагая в уравнении (4.10)

получаем

Дифференцируя это уравнение и затем упрощая, находим

Сокращая на множитель , получаем дифференциальное уравнение траекторий в виде

Отсюда после интегрирования находим

Общий интеграл этого уравнения равен

или, переходя от к

Найденное выражение есть уравнение конического сечения в полярных координатах.

Таким образом, при движении точки в центральном поле с кулоновским взаимодействием траектории представляют семейство конических сечений, зависящее от одного параметра Е.

Для нахождения постоянной интегрирования С подставим в уравнение (4.13) выражение из (4.14), а также выражения:

Упростив полученное выражение, будем иметь

Отсюда

При выборе знака перед корнем следует исходить из того, что величина С должна быть положительной. Действительно, пусть при имеем , а при имеем Подставив эти значения в уравнение (4.14), получим

Отсюда находим

Постоянные В и а определяются из условия прохождения траектории через две точки: .