§ 2. Принцип стационарного действия Гамильтона

Гамильтон (1805—1863), исходя из аналогии между задачами геометрической оптики и динамики, установил

принцип, который, хотя и не дает непосредственно интеграла движения, позволяет получить все уравнения движения. По общности и значению его следует отнести к одному из важнейших интегральных принципов механики.

При изложении принципа Гамильтона воспользуемся геометрической трактовкой движения, изложенной в § 1 этой главы.

Рассмотрим голономную систему с степенями свободы. Пусть моментам времени и соответствуют две конфигурации системы, определяемые соответственно обобщенными координатами

В пространстве указанным моментам будут соответствовать две точки . Из положения А в положение В система может перемещаться по различным путям.

При действительном движении системы за время изображающая точка М опишет прямой путь (рис. 7). Наряду с действительным движением системы можно рассматривать варьированные движения, при которых изображающая точка из положения А переходит в положение В за тот же промежуток времени двигаясь по окольному пути близкому к прямому. Естественно поставить вопрос: чем отличается действительное движение по прямому пути от варьированных движений по окольным путям? Ответ на этот вопрос дает принцип Гамильтона.

Прежде чем перейти к формулировке принципа Гамильтона, необходимо ввести понятие «действия». Действием (по Гамильтону) называется интеграл, взятый по времени в пределах от до от некоторой функции зависящей от состояния системы, т. е. от совокупности значений обобщенных координат и обобщенных скоростей а также, возможно, и от времени и

Действие представляет функционал, поскольку оно определяется выбором функций времени .

Выражение называется элементарным действием, а функция — функцией Лагранжа. Физический смысл этой функции будет выяснен позже. Переменные называются переменными Лагранжа.

Согласно принципу Гамильтона, действительное движение системы при ее переходе из положения в положение происходит таким образом, что действие по Гамильтону, вычисленное по прямому пути, имеет стационарное значение по сравнению со значениями, которые действие принимает при движении системы по окольным путям, близким к прямому и проходящим через те же точки Так как для действительного движения по прямому пути интеграл принимает стационарное значение, то первая вариация его должна быть равна нулю:

Поэтому этот принцип носит название принципа стационарного действия Гамильтона.

При вычислении вариации следует иметь в виду, что все кривые сравнения, соответствующие окольным путям, проходят через точки А и В, и, следовательно, вариации обобщенных координат на концах интервала должны быть равны нулю:

а время в течение которого система переходит из положения А в положение В по какой-либо кривой сравнения, при этом не варьируется, т. е. . Это

означает, что варьирование в принципе Гамильтона является изохронным.

Из условия обращения в нуль первой вариации функции действия еще не следует, что функция действия (по Гамильтону) 5 имеет экстремальное значение. Необходимо исследовать еще вторую вариацию

Серре (1819—1885) показал, что вторая вариация действия для действительного движения при некоторых ограничениях, наложенных на пределы интегрирования, положительна, и, следовательно, функция имеет минимум. Поэтому принцип Гамильтона называют также принципом наименьшего действия.

Так как задача отыскания минимума интеграла есть задача вариационного исчисления, то принцип Гамильтона должен быть отнесен к вариационным принципам механики. Он является интегральным принципом, поскольку движение системы изучается на конечном промежутке времени.

Достоинством принципа Гамильтона является его инвариантность относительно выбора системы координат, т. е. принцип Гамильтона может быть применен к движению системы, отнесенной к любой системе координат.