Глава IX. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

§ 1. Интегральный инвариант Пуанкаре

При канонических преобразованиях, как было показано, каноническая форма уравнений Гамильтона сохраняется неизменной.

Существуют и другие аналитические выражения, которые остаются инвариантными при канонических преобразованиях. К таким выражениям, в частности, относятся некоторые интегралы, названные Анри Пуанкаре (1854—1912) интегральными инвариантами.

При рассмотрении интегральных инвариантов удобно пользоваться так называемым фазовым пространством, в котором положение точки {фазовой точки) определяется параметрами, характеризующими состояние системы.

Так как состояние механической системы с степенями свободы в каждый момент времени определяется параметрами то фазовым пространством для нее будет -мерное пространство в котором положение фазовой точки определяется величинами: , а время играет роль параметра. Следовательно, если движение механической системы отнести к ее фазовому пространству то движению системы будет соответствовать движение фазовой

точки. Линия, которую описывает фазовая точка, называется фазовой линией или фазовой траекторией.

Представим уравнение фазовых линий в виде двух-параметрического семейства вида

где играют роль параметров, и некоторый момент времени примем за начальный. Тогда начальное состояние системы, а следовательно, и начальное положение фазовой точки, определяемое координатами будут зависеть от одного параметра а, т. е. будем иметь

Так как параметр а может изменяться произвольно, то мы получаем многообразие фазовых точек, соответствующих различным начальным состояниям системы.

Выберем из этого многообразия произвольную совокупность, такую, чтобы она образовывала некоторую замкнутую кривую

Пусть параметр а при этом изменяется в пределах Так как кривая замкнутая, то

Движение механической системы при заданных действующих силах и наложенных связях полностью определяется ее начальным состоянием, т. е. совокупностью значений или, что то же, соответствующей фазовой точкой в фазовом пространстве Это означает, что через каждую фазовую точку пространства пройдет единственная фазовая линия, соответствующая прямому пути системы.

Точки кривой представляют совокупность различных начальных состояний системы, а потому, если через каждую точку этого замкнутого контура провести соответствующую фазовую линию, то получим замкнутую трубку, каждая образующая которой представляет прямой путь системы.

Возьмем некоторый другой момент времени который будем называть конечным моментом. Положения соответствующих фазовых точек В, определяющих конечные состояния системы, будут при этом определяться координатами

т. е. получим многообразие конечных состояний, зависящих от параметра а. При изменении параметра а в пределах мы получим некоторый замкнутый контур охватывающий трубку прямых путей (рис. 25).

Рис. 25

Рассмотрим теперь функцию действия по Гамильтону в интервале вдоль некоторой образующей трубки соответствующей некоторому значению параметра а в рассматриваемом интервале Функция действия будет функцией параметра а:

Найдем вариацию этой функции

при переходе от образующей соответствующей параметру а, к близкой образующей соответствующей параметру .

Переход от одной образующей трубки к другой близкой можно рассматривать как результат варьирования

начального состояния системы [в этом случае варьированию подлежат ] или же как результат варьирования начального и конечного положений системы [в этом случае варьируются ].

Хотя оба способа варьирования приводят к одному и тому же результату, второй способ в данном случае имеет то преимущество, что он приводит к принципу переменного действия, в котором как раз и рассматривается вариация функции действия Гамильтона в результате варьирования начального и конечного положений системы (время при этом не варьируется).

Пользуясь поэтому формулой для вариации функции действия 85 (7.5) (гл. 7, § 2), получаем

Этот же результат можно получить из общей формулы для вариации функции действия [формула (7.11)], если положить . Интегрируя по а в пределах от 0 до и замечая, что

получаем

Другими словами, интеграл

взятый вдоль замкнутой кривой С, состоящей из точек, соответствующих одновременным состояниям системы, сохраняет вдоль трубки (т. е. при перемещении и деформировании контура С вдоль трубки

прямых путей) постоянное значение. Этот интеграл носит название относительного интегрального инварианта Пуанкаре.

Под знак интеграла входят дифференциалы первого порядка, поэтому его называют интегральным инвариантом первого порядка.

Так как интегральный инвариант не зависит от функции Гамильтона то он, очевидно, справедлив для любой голономной системы, поэтому его называют также универсальным интегральным инвариантом. Более полно его можно назвать универсальным относительным интегральным инвариантом первого порядка.