§ 3. Абсолютные интегральные инварианты

В относительных интегральных инвариантах область интегрирования представляет замкнутое многообразие. Например, в относительных интегральных инвариантах первого порядка интегрирование производится по замкнутому контуру.

Абсолютными интегральными инвариантами называются такие интегралы, инвариантность которых сохраняется при любом выборе области интегрирования. В частности, область интегрирования может быть не замкнута.

Можно показать, что теория относительных интегральных инвариантов может быть сведена к теории абсолютных интегральных инвариантов. Например, можно показать, что относительный интегральный инвариант первого порядка эквивалентен абсолютному инварианту второго порядка.

Действительно, пусть интеграл

распространенный по замкнутому контуру С, есть относительный интегральный инвариант первого порядка.

На основании теоремы Стокса, имеем

где

Интегрирование здесь производится по области а (рис. 27). Так как область о не замкнутая, то полученный интегральный инвариант второго порядка будет абсолютным.

Интегральному инварианту первого порядка

соответствует абсолютный интегральный инвариант второго порядка

Рис. 27

Здесь а означает ограниченную контуром С произвольную двумерную поверхность в -мерном пространстве .

Инвариантность интеграла может быть доказана и непосредственно из рассмотрения преобразования элементарной площади поверхности о при канонических преобразованиях.

Помимо относительного интегрального инварианта первого порядка существуют и другие относительные интегральные инварианты нечетных порядков. Например, тройной интеграл

будет универсальным (поскольку подынтегральное выражение не зависит от функции Гамильтона интегральным инвариантом третьего порядка. Соответствующим ему абсолютным интегральным инвариантом четвертого порядка будет:

Интегрирование здесь производится по произвольной четырехмерной области фазового пространства. Вообще можно показать, что в -мерном фазовом пространстве существуют следующие универсальные интегральные инварианты порядка:

причем индекс может принимать значения от . При получаем при получаем

Соответствующими этим относительным интегральным инвариантам абсолютными интегральными инвариантами будут:

При получаем абсолютный интегральный инвариант наиболее высокого порядка (для рассматриваемого -мерного фазового пространства ):

Так как интегрирование совершается по произвольной области фазового пространства, то инвариантность интеграла эквивалентна утверждению, что объем любой части фазового пространства при канонических преобразованиях остается неизменным.

Этот результат в статистической механике известен под названием теоремы Лиувилля.