§ 4. Вполне канонические преобразования

Если преобразование, определяемое производящей функцией V, будучи применено к канонической системе уравнений Гамильтона

сохраняет в новых переменных типичную форму канонических уравнений

и характеристическая функция Гамильтона остается при этом неизменной, т. е., другими словами, новая функция Гамильтона получается из первоначальной функции Н в результате рассматриваемого преобразования

то такое преобразование называется вполне каноническим преобразованием.

Легко видеть, что вполне каноническое преобразование будет получаться всякий раз, когда производящая функция V не зависит от времени т. е. когда

Действительно, как это следует из результатов предыдущего параграфа, первоначальная и новая функции Гамильтона связаны между собой соотношением

Но так как для вполне канонического преобразования , следовательно, производящая функция V не зависит явно от времени

Обращаясь к основной дифференциальной форме (8.12), определяющей каноническое преобразование, видим, что для вполне канонического преобразования она принимает вид

(поскольку ).

Из тождества (8.34), а также из результатов предыдущего параграфа следует, что вполне каноническое преобразование не зависит от времени т. е. имеет вид

Так как билинейный ковариант полного дифференциала тождественно равен нулю, то при вполне каноническом преобразовании равенство билинейных ковариантов дифференциальных форм

превращается в тождество, если дифференциалы на основании формул (8.35) заменить их выражениями:

и аналогично

Преобразуем тождество (8.36), для чего воспользуемся выражениями (8.37) для дифференциалов Меняя местами индексы и в правой части

тождества (8.36) и приводя подобные члены, получаем:

Отсюда, в силу независимости и будем иметь

Эта система уравнений эквивалентна системе уравнений (8.38).

Теперь нетрудно получить условия, необходимые для выполнения вполне канонического преобразования.

Рассмотрим полный дифференциал некоторой функции от тех же переменных: Имеем

Если теперь в это выражение подставить значения из (8.39) и воспользоваться скобами Пуассона (6.27), то, как нетрудно видеть, получим

Равенство (8.41) справедливо для любой функции Подставляя в него вместо последовательно функции с помощью которых осуществляется каноническое преобразование, получим, в силу независимости величин систему уравнений, которые с помощью скобок Пуассона можно записать в следующем виде:

где — символ Кронекера:

Полученные соотношения (8.42) и (8. 43) выражают необходимые условия, при которых рассматриваемое преобразование (8.35) является вполне каноническим.