Глава VII. МЕТОД ЯКОБИ—ГАМИЛЬТОНА

Методы интегрирования уравнений движения существенным образом зависят от вида исходной системы уравнений. Последним можно придавать различную форму, в зависимости от выбора характеристической функции, с помощью которой они составляются.

Мы рассмотрели два метода: метод Лагранжа и метод Гамильтона. Сейчас мы рассмотрим третий метод, известный как метод Якоби—Гамильтона. С его помощью задача сводится к интегрированию одного дифференциального уравнения в частных производных вида

где Н — функция Гамильтона, а искомая функция носит название «главной функции» Гамильтона.

§ 1. Главная функция Гамильтона

Рассмотрим движение некоторой голономной системы с степенями свободы, положение которой в каждый момент времени определяется обобщенными координатами

Если это движение отнести к -мерному пространству положение точки в котором определяется параметрами то

движению рассматриваемой механической системы в пространстве будет соответствовать движение изображающей точки М (см. § 1 гл. III).

Пусть двум различным моментам времени соответствуют две различные конфигурации системы, определяемые соответственно обобщенными координатами . В пространстве этим двум моментам времени будут соответствовать точки .

Перемещение системы из положения (52) в положение вообще говоря, может быть осуществлено различными путями, лишь бы не были нарушены наложенные на точки системы связи. Из всех возможных путей система, в соответствии с принципом Гамильтона, будет двигаться по вполне определенному пути. Путь, соответствующий действительному перемещению системы (кривая как уже говорилось, называют прямым путем, а остальные возможные пути (кривые 2) - окольными путями (рис. 21).

Согласно принципу стационарного действия Гамильтона, функция действия

вычисленная для прямого пути, будет иметь меньшее значение, чем для любого окольного пути. Этим самым принцип Гамильтона устанавливает факт минимума функции действия , но ничего не говорит о самом значении, принимаемом функцией при перемещении системы по прямому пути из положения в положение Чтобы найти значение функции , можно поступить следующим образом.

Рис. 21

Для прямого пути, соответствующего действительному перемещению системы, обобщенные координаты и обобщенные скорости рассматриваемые как функции времени должны удовлетворять уравнениям движения. Найдем с помощью интегрирования уравнений Лагранжа они будут зависеть от времени к произвольных постоянных интегрирования:

Найденные таким путем подставим в формулу (7.1), откуда после интегрирования получим функцию действия, выраженную через параметров:

С другой стороны, из условия прохождения кривой через точки и (52), должны иметь место следующие соотношения:

Определив из этих уравнений постоянные интегрирования как функции от и и подставив их в выражение (7.2), получим действие в виде функции от начального и конечного моментов времени координат определяющих начальное и конечное положения системы:

Это и будет значение действия при перемещении системы по прямому пути из положения в положение

Откажемся теперь от условия, что конечный момент времени является фиксированным, и будем его рассматривать как переменный (рис. 22). Опуская индексы и заменяя их соответственно через и получаем функцию действия в виде (знак тильды при этом опускаем):

Рис. 22

Действие (7.3), рассматриваемое как функция времени обобщенных координат и некоторых постоянных параметров, носит название главной функции Гамильтона.

Эта функция играет фундаментальную роль в теории интегрирования дифференциальных уравнений динамики, когда задача сводится к интегрированию одного дифференциального уравнения в частных производных (так называемое уравнение Гамильтона — Якоби). Указанная теория разработана главным образом Гамильтоном, Остроградским и Якоби.