§ 2. Инвариантность уравнений Лагранжа

Рассмотрим некоторые преобразования, относи тельно которых уравнения Лагранжа инвариантны. Прежде всего заметим, что наряду с функцией Лагранжа можно указать бесчисленное множество других функций получающихся из которые также будут удовлетворять уравнениям Лагранжа. Следовательно, эти функции также можно рассматривать как функции Лагранжа.

Рассмотрим, например, две функции и отличающиеся друг от друга на произвольную аддитивную функцию, зависящую только от времени (в частности, Ф может быть постоянной величиной). Такие две функции и очевидно, будут удовлетворять одним и тем же уравнениям Лагранжа (5.2), и, следовательно, каждая из них может быть взята в качестве функции Лагранжа для одной и той же системы.

Далее, если рассмотреть две функции и где А — отличная от нуля произвольная постоянная,

то такие две функции также будут удовлетворять одним и тем же уравнениям Лагранжа (5.2), что непосредственно следует из однородности этих уравнений относительно функции

Покажем теперь, что, если к функции Лагранжа прибавить полную производную от некоторой функции зависящей от обобщенных координат и времени то полученная таким образом функция также будет удовлетворять уравнениям Лагранжа.

Обратимся сперва к принципу Гамильтона и рассмотрим действие от функций и Имеем

Следовательно,

Нетрудно убедиться, что второе слагаемое в правой части равно нулю. Действительно, так как варьирование является изохронным (т. е. ), то операции варьирования и интегрирования, равно как и варьирования и дифференцирования, коммутативны, и, следовательно

поскольку вариации обобщенных координат на концах интервала равны нулю. Таким образом, если то и

Обратимся теперь к уравнениям Лагранжа и покажем, что всякая функция вида

тождественно удовлетворяет уравнениям Лагранжа. Имеем

Далее находим, что

и

а потому

Таким образом, функция также как и будет удовлетворять уравнениям Лагранжа. Следовательно, при составлении уравнений Лагранжа всякое слагаемое вида входящее в выражение для функции Лагранжа, может быть опущено.

Перейдем теперь к рассмотрению других преобразований, при которых форма уравнений Лагранжа сохраняется.

а) Точечные преобразования

Пусть конфигурация голономной системы в каждый момент времени определяется обобщенными координатами Будем рассматривать движение механической системы как движение изображающей точки М с координатами в -мерном пространстве конфигураций Введем новые координаты которые являются некоторыми функциями старых координат т. е.

при условии, что функциональный определитель рассматриваемого преобразования отличен от нуля, т. е.

что, как известно из анализа, позволяет выразить через , а именно:

Отсюда ясно, что величины также могут быть приняты в качестве обобщенных координат для рассматриваемой системы.

При этом движение системы можно рассматривать как движение изображающей точки с координатами в -мерном пространстве конфигураций а само преобразование как отображение точек пространства на точки пространства вследствие чего эти преобразования и называют яечными.

При точечных преобразованиях обобщенные скорости выражаются линейным образом через обобщенные скорости . Чтобы доказать это, достаточно продифференцировать (5.13). Имеем

где

есть функция только обобщенных координат Аналогичным образом можно показать, что и обобщенные скорости выражаются линейным образом через обобщенные скорости Для этого достаточно продифференцировать (5.12). Покажем, что точечное преобразование (5.12) с функциональным определителем А, отличным от нуля, инвариантно относительно уравнений Лагранжа, т. е. если от обобщенных координат и обобщенных скоростей перейти к обобщенным координатам и обобщенным скоростям то уравнения Лагранжа (5.2) перейдут в новые уравнения Лагранжа:

где — новая функция Лагранжа, полученная в результате преобразования (5.12)

Вычислим частные производные , рассматривая как сложную функцию. Имеем

Из формул (5.13) и (5.14), поменяв предварительно местами индексы и находим

Следовательно,

Далее определяем производную

Таким образом, находим

Покажем, что правая часть равенства обращается в нуль. Действительно,

и

и, следовательно,

Таким образом, инвариантность уравнений Лагранжа при точечных преобразованиях доказана полностью.

Следует указать, что точечные преобразования вида

не являются самыми общими преобразованиями, которые допускают уравнения движения. Более общие, так называемые канонические преобразования, будут рассмотрены позже.

б) Преобразование подобия

Рассмотрим систему (1), состоящую из материальных точек, массы которых равны а декартовы координаты Сделав преобразование подобия:

мы перейдем от системы (1) к подобной системе также состоящей из точек с массами и декартовыми координатами Наибольший интерес преобразование подобия представляет для консервативных систем, для которых функция Лагранжа всегда может быть представлена как разность между кинетической энергией Г и потенциальной энергией V.

Напишем функцию Лагранжа для системы (1):

а также для преобразованной системы (1'):

Так как кинетическая энергия системы есть однородная функция первой степени относительно масс и второй степени относительно скоростей то в результате преобразования подобия (5.15) получим

или

С другой стороны, в силу однородности всякой физической величины относительно основной системы единиц: длины, массы и времени, потенциальная энергия V для консервативных систем есть однородная функция от координат и масс (так как от времени она не зависит). Таким образом, для всяких отличных от нуля, будет иметь место соотношение

где и — показатели степени однородности функции V относительно координат и масс Следовательно,

или

Таким образом, в результате преобразования подобия окончательно получаем

Для того, чтобы движение системы (1) и движение системы полученной в результате преобразования подобия (5.15), описывались одной и той же системой уравнений, необходимо, чтобы функции Лагранжа обеих систем отличались множителем. В случае, когда и положительны (или в более общем случае, когда они одного знака), это требование приводит к условию

Отсюда следует, что параметры определяющие преобразование подобия, при котором консервативная система преобразуется в механически подобную, оказываются не независимыми между собой, а связанными следующим соотношением:

Если рассматривать преобразования подобия более общего вида, при которых параметры мягут принимать отрицательные или даже мнимые значения, то может оказаться, что выражения и будут иметь разные знаки (например, преобразование, при котором параметры равны:

В этом случае функции Лагранжа и будут отличаться множителем, если

или

Как уже указывалось, движение системы (1) и движение преобразованной системы (когда функции,

Лагранжа и отличаются постоянным множителем) будут описываться одной и той же системой уравнений.

Для того чтобы соответственные точки с массами и описывали при этом подобные траектории, необходимо, чтобы кинематическое подобие, т. е. дифференциальные отношения:

выполнялись и в начальных условиях.

Рассмотрим теперь несколько примеров. Пример 1. Определить отношение периодов малых колебаний двух грузов с массами каждый из которых подвешен к пружине с одной и той же жесткостью с.

Функция Лагранжа в случае малых колебаний груза с массой подвешенного к пружине с жесткостью с, имеет вид

где х — отклонение груза от положения статического равновесия.

В данном случае потенциальная энергия есть однородная функция второй степени от координаты Полагая поэтому из формулы (5.17) получаем

или

Отсюда следует, что отношение периодов малых колебаний грузов будет равно

Пример 2. Определить отношение периодов обращения двух материальных точек с массами

движущихся в центральном поле, создаваемом притягивающим центром.

Пусть потенциальная энергия в рассматриваемом центральном поле выражается формулой

Здесь — постоянные, характеризующие данное поле, — масса движущейся точки и расстояние точки от притягивающего центра. В рассматриваемом случае следовательно, согласно формуле (5.17), имеем

Это и есть искомое отношение периодов.

Полученная формула показывает, что отношение периодов не зависит от отношения масс, а зависит лишь отношения средних расстояний.

Для поля силы ньютонианского тяготения, когда центральная сила обратно пропорциональна квадрату расстояния до притягивающего центра, потенциальная энергия V имеет вид

Полагая в формуле находим

Полученная формула выражает третий закон Кеплера: квадраты времен обращения планет при их движении вокруг солнца относятся как кубы средних расстояний орбит.

Пример 3. Определить отношение периодов обращения двух точек с массами движущихся по одной и той же траектории, при следующих условиях:

а) потенциальные энергии обеих точек одинаковы,

б) потенциальные энергии относятся как

Сделав преобразование подобия (поскольку обе точки движутся по одной и той же кривой), получим: в случае, когда :

отсюда

и

в случае, когда

и, следовательно,