§ 7. Уравнения Лагранжа первого рода

Обратимся к общему уравнению динамики (2.13).

Если система свободна, то все вариации координат независимы, и в этом случае из уравнения (2.13) получаем

Это — уравнения движения свободной системы.

Если же система несвободна и на точки системы наложено 5 стационарных, идеальных, голономных связей вида

то вариации координат уже не будут независимыми, так как они должны удовлетворять 5 дифференциальным соотношениям вида

Применяя метод неопределенных множителей Лагранжа, а именно, умножая уравнения (2.16) на неопределенные пока множители и складывая полученные уравнения с уравнением Даламбера — Лагранжа (2.13), получаем

Положение рассматриваемой системы, состоящей из точек, определяется координатами, но так как координаты связаны (по числу связей) уравнениями, то независимых координат, определяющих положение системы, будет только Поскольку система голономна, число степеней свободы будет также равно т. е. система будет иметь независимых вариаций координат.

Произведем теперь выбор неопределенных множителей так, чтобы выражения, стоящие в скобках при вариациях зависимых координат, обратились в нули. Тогда выражения, стоящие в скобках при оставшихся независимых вариациях координат, также обратятся в нули и, следовательно, мы получим уравнений вида:

Эти уравнений движения несвободной системы носят название уравнений Лагранжа первого рода.

Совокупная система дифференциальных уравнений Лагранжа (2.17) и конечных уравнений связей (2.15) достаточна для нахождения неизвестных, а именно, координат системы и неизвестных множителей Лагранжа

Если через обозначить реакцию связей,

действующих на точку системы, то уравнения движения несвободной системы можно написать в следующей форме:

где - проекции реакции связей на оси координат.

Сравнивая уравнения (2.17) и (2.18), получаем формулы для реакций связей

Следует заметить, что при большом количестве точек системы, а также при большом числе связей, изучение движения с помощью уравнений Лагранжа первого рода крайне затруднительно ввиду большого количества уравнений. Этим методом удобно пользоваться тогда, когда система состоит из небольшого количества точек и число связей, наложенных на точки системы, невелико.

Если система находится в покое, то, полагая в уравнениях движения (2.17)

получаем уравнения равновесия рассматриваемой системы

Рассмотрим движение точки массой по абсолютно гладкой поверхности под действием силы F.

Обозначим проекции силы на оси координат через X, Y, Z и напишем для точки М уравнения Лагранжа первого рода:

Если сила задана, то задача сводится к интегрированию совокупной системы трех дифференциальных уравнений второго порядка. Интегралы этих уравнений будут зависеть от времени параметра X и шести произвольных постоянных определяемых из начальных условий задачи. Таким образом,

Так как точка во время движения остается на поверхности то из этого условия можно получить уравнение для нахождения множителя Лагранжа X. Таким образом, задача о движении точки по заданной поверхности будет полностью решена.

Если точка М под действием силы находится на поверхности в равновесии, то уравнения равновесия будут иметь вид:

Проекции реакции связи на оси координат будут соответственно равны

Реакция будет, конечно, направлена по нормали к поверхности .