Глава II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

§ 1. Принцип виртуальных перемещений

Наиболее общим принципом статики несвободных механических систем является принцип виртуальных перемещений.

Впервые идеи принципа виртуальных перемещений были высказаны Стевином (1548—1620) при рассмотрении условия равновесия блока.

Следующий шаг сделал Галилей (1564—1642) при рассмотрении равновесия груза, лежащего на наклонной плоскости. Он высказал известное «золотое правило» механики, согласно которому «что выигрывается в силе, то теряется в скорости». Однако как Стевин, так и Галилей рассматривали частные задачи. Общую формулировку принципа виртуальных перемещений для любой системы приложенных сил дал И. Бернулли в 1717 г., хотя доказательства этому принципу он не привел. Лагранж (1736—1818) в своей знаменитой «Аналитической механике» сформулировал этот принцип, назвав его «принципом виртуальных скоростей», и дал его доказательство (хотя и не строгое) с помощью системы грузов, подвешенных к нитям, перекинутым через блоки. Ампер (1775—1836) обосновал принцип виртуальных перемещений, введя постулат идеальных связей. М. В. Остроградский (1801 —1862) распространил принцип виртуальных перемещений на системы,

подчиненные нестационарным и освобождающим связям.

Принцип виртуальных перемещений может быть сформулирован следующим образом: для равновесия механической системы, на точки которой наложены стационарные, удерживающие и идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, при любом виртуальном перемещении системы была равна нулю.

Если через обозначить результирующую всех активных сил, приложенных к точке системы, а через — вектор виртуального перемещения точки, то принцип виртуальных перемещений может быть записан в следующей форме:

где суммирование распространяется по всем точкам системы.

В проекциях на оси координат предыдущее равенство запишется так:

Здесь через обозначены проекции векторов и на оси декартовых координат. Уравнение (2.2) носит название общего уравнения статики.

Для доказательства необходимости принципа виртуальных перемещений рассмотрим равновесие некоторой несвободной механической системы со стационарными, удерживающими и идеальными связями.

Если система находится в равновесии, то и любая точка системы находится в равновесии. Следовательно, сумма активных сил и реакций связи приложенных к точке системы, должна быть равна нулю:

Отсюда следует, что работа этих сил на любом виртуальном перемещении будет также равна нулю:

Распространив это равенство на все точки системы, получим

или

Вторая сумма в силу постулата идеальных связей обращается в нуль, и, следовательно, мы приходим к равенству (2.1). Таким образом, доказана необходимость условия (2.1) при равновесии системы.

Доказательство достаточности принципа виртуальных перемещений проводится от обратного. Предположим, что условие (2.1) выполнено, а система не находится в равновесии. Пусть рассматриваемая система начала двигаться из состояния покоя. Тогда результирующая сил и на действительном перемещении совершит положительную работу, так как перемещения точек за элементарное время будут направлены вдоль силы (начальные скорости точек равны нулю). Следовательно,

Написав такие неравенства для всех точек системы и просуммировав их, получим

Так как действительные перемещения в случае стационарных связей являются одними из виртуальных, то последние можно выбрать так, чтобы они совпадали с действительными. Полагая, в неравенстве и разбивая сумму на две, получаем

Вторая сумма в силу постулата идеальных связей равна нулю и, следовательно, получаем, что

а это противоречит условию (2.1). Следовательно, сделанное допущение о том, что система начала двигаться, приводит к противоречию. Этим самым доказывается достаточность принципа виртуальных перемещений для равновесия системы.

Принцип виртуальных перемещений является вариационным принципом, поскольку здесь рассматривается не одна конфигурация системы, а совокупность возможных конфигураций получаемых в результате виртуальных перемещений, допускаемых наложенными на точки системы связями.

Большим достоинством рассматриваемого принципа является то, что совокупность всех условий равновесия можно выразить с помощью одного уравнения, не входя в детали тех связей, которые наложены на точки системы. В формулировку принципа виртуальных перемещений не входят реакции связей, что избавляет от необходимости определять реакции связей.

С другой стороны, с помощью принципа виртуальных перемещений можно весьма просто находить и реакции связей. Для этого следует воспользоваться принципом освобождаемости. Отбрасывая связь, мы заменяем ее действие реакцией связи, при этом, как уже отмечалось, увеличивается число степеней свободы системы. Рассматривая затем систему с освобожденной связью, сообщаем ей виртуальное перемещение. Пользуясь, далее, принципом виртуальных перемещений и приравнивая нулю сумму всех виртуальных работ, включая работу реакции связи, получаем одно уравнение, из которого может быть найдена искомая реакция связи.

Принцип виртуальных перемещений позволяет получить все условия равновесия. При этом следует подчеркнуть, что уравнений равновесия для системы может быть получено столько, сколько независимых виртуальных перемещений можно осуществить в системе. Другими словами, число условий равновесия, которые можно составить для системы, совпадает с числом ее степеней свободы.