§ 5. Виртуальные перемещения. Число степеней свободы

Наряду с действительными перемещениями или (1.18), которые совершают точки системы в их истинном движении, при формулировании общих принципов механики приходится рассматривать перемещения иного рода, которые называются виртуальными (или возможными).

Под виртуальными или возможными перемещениями точек системы понимают бесконечно малые перемещения, которые позволяют, не нарушая наложенных связей, перевести систему из одной конфигурации в другую, близкую к ней, но относящуюся к тому же моменту времени.

Пусть конфигурация системы (обозначим ее через С) в момент времени определяется обобщенными координатами Дадим обобщенным координатам бесконечно малые приращения (вариации) Полученным таким образом обобщенным координатам будет соответствовать в рассматриваемый момент времени другая возможная конфигурация, близкая к конфигурации С; обозначим ее через С. Виртуальным перемещением системы для момента времени будет перемещение системы из конфигурации С в конфигурацию С. Из сказанного следует, что виртуальные перемещения (в отличие от действительных перемещений ) для голономных систем будут определяться формулами (1.24), независимо от того, стационарны связи или нестационарны.

Так как обобщенные координаты независимы между собой, то будут независимы и вариации координат , следовательно, в результате виртуальных перемещений системы можно получить бесчисленное множество конфигураций С, близких к конфигурации С и согласующихся с наложенными на систему связями.

Понятие виртуального перемещения есть понятие чисто геометрическое, не связанное с истинным движением системы. Координаты системы полученные в результате виртуального перемещения, должны удовлетворять лишь уравнениям связей (1.22):

или в случае стационарных связей уравнениям (1.25), но не уравнениям движения.

Координаты полученные при истинном движении системы за время должны удовлетворять как уравнениям связей (1.22):

[или в случае стационарных связей уравнения (1.25)], так и уравнениям движения.

Рассмотрим, принадлежит ли совокупность значений для действительных перемещений к множеству значений для виртуальных перемещений системы.

Для этого сравним формулы для виртуальных перемещений (1.24) с формулами для действительных перемещений (1.17) и (1.18).

Сопоставляя указанные формулы, видим, что в случае стационарных связей среди множества значений виртуальных перемещений имеются и такие, которые могут быть реализованы в истинном движении системы. Для этого достаточно положить Тогда будем иметь

В случае же нестационарных связей совокупность действительных перемещений не принадлежит множеству значений виртуальных перемещений . В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.

Пусть по поверхности сферы с переменным радиусом (расширяющаяся сфера) движется по некоторому закону точка М. Напишем уравнение связи (в данном случае сферы) в декартовых координатах, поместив начало координат в центре сферы:

Связь в данном примере является удерживающей, нестационарной и голономной.

Положение точки на сфере (1.26) в каждый момент времени будет определяться двумя обобщенными координатами . В качестве этих координат возьмем широту и долготу . Следовательно, Напишем декартовы координаты точки М

Виртуальные перемещения точки будут:

В каждый момент времени виртуальные перемещения должны удовлетворять соотношению

получаемому из уравнения (1.26) при варьировании координат, если считать постоянным

В справедливости соотношения (1.29) можно убедиться и непосредственным вычислением с помощью формул (1.27) и (1.28). Из соотношения (1.29) следует, что множество виртуальных перемещений будет состоять из бесконечно малых перемещений в плоскости, касательной к сфере в точке М в рассматриваемый момент времени Действительные же перемещения точки М за время должны удовлетворять соотношению

Из формул (1.29) и (1.30) следует, что действительные перемещения нельзя осуществить в классе виртуальных перемещений, т. е. нельзя подобрать так, чтобы одновременно удовлетворялись соотношения (1.29) и (1.30).

Пусть теперь связь будет стационарной. Рассмотрим тот же пример, считая радиус сферы величиной постоянной. Уравнение связи будет иметь вид

Отсюда

Из полученных соотношений следует, что среди множества виртуальных перемещений точек на сфере имеются и такие которые могут быть реализованы как действительные.

Отметим, что для голономных систем виртуальные перемещения обратимы. Это означает, что если вариации заменить на то виртуальные перемещения также изменят знак и, следовательно, станут равными Сказанное непосредственно следует из однородности уравнений (1.24).

До сих пор речь шла о голономных системах. Если же система неголономна и точки системы кроме голономных связей вида (1.22) наложено еще неголономных связей вида к

где — функции обобщенных координат и времени то вариации координат при виртуальных перемещениях должны удовлетворять дифференциальным соотношениям

Таким образом, если положение системы определяется заданными обобщенными координатами то мы будем иметь виртуальных перемещений, соответствующих вариации каждой из обобщенных координат Но так как при этом вариации должны удовлетворять уравнениям (1.32), то независимых вариаций, а следовательно, и независимых виртуальных перемещений будет

Число соответствующее числу независимых виртуальных перемещений, носит название числа степеней свободы системы.

Если на точки системы наложено только голономных связей то число степеней свободы будет равно

т. е. в случае голономной системы число степеней свободы будет совпадать с числом независимых обобщенных координат, определяющих положение системы.

Если число степеней свободы голономной системы равно единице то говорят, что система обладает полным числом условий. Для системы, состоящей из точек, это, очевидно, будет тогда, когда число связей, наложенных на точки системы, будет равно

Для неголономной системы число степеней свободы отлично от числа обобщенных координат, необходимых для определения положения системы. Например, в случае движения шара по абсолютно шероховатой плоскости, для определения его положения в каждый момент времени необходимо пять независимых координат — две координаты , определяющие положение центра шара, и три угла Эйлера: (рис. 1), в то время, как независимых виртуальных перемещений будет всего лишь три. Действительно, для сообщения шару виртуального перемещения, совместимого со связью, необходимо и достаточно повернуть шар на бесконечно малый угол вокруг мгновенной оси, проходящей через точку касания шара с плоскостью. Элементарное же вращение всегда может быть разложено на три вращения по трем осям координат. Отсюда следует, что не все вариации координат Выявляются независимыми между собой. Эти вариации должны удовлетворять двум неинтегрируемым линейным уравнениям [см. уравнения (1.8)]: