§ 5. Теоремы Ляпунова и Четаева о неустойчивости движения

Н. Г. Четаев сформулировал и доказал следующую теорему о неустойчивости движения: если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти функцию V, ограниченную в области существующей при всяком и для сколь угодно малых по абсолютной величине переменных производная которой V в силу этих уравнений была бы определенно положительной в области то невозмущенное движение неустойчиво.

Здесь под областью понимается совокупность значений переменных которые при условиях удовлетворяют неравенству

Из этой теоремы Четаева, доказательство которой мы здесь опускаем, вытекают как следствие две теоремы Ляпунова о неустойчивости движения.

Первая теорема Ляпунова о неустойчивости движения: если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти функцию V, которая обладала бы в силу этих уравнений знакоопределенной производной V, притом допускала бы бесконечно малый высший предел и была бы такова, что при всяком большем некоторого предела, надлежащим выбором величин численно сколь угодно малых, ее можно было бы сделать величиной одинакового знака с ее производной, то невозмущенное движение неустойчиво.

Для доказательства этой теоремы достаточно заметить, что функция V, фигурирующая в теореме Ляпунова, удовлетворяет условиям теоремы Четаева.

Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости движения: если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти ограниченную функцию V, производная которой в силу этих уравнений приводилась бы к виду

где — положительная постоянная, или тождественно равно нулю, или представляет некоторую знакопостоянную функцию, и если в последнем случае найденная функция V такова, что при всяком большем некоторого предела, надлежащим выбором величин сколь угодно численно малых, ее можно сделать величиной одинакового знака с то невозмущенное движение неустойчиво.

Действительно, из условий этой теоремы Ляпунова следует, что производная V есть знакоопределенная функция в области, где имеют одинаковые знаки (если не есть тождейственный нуль).

Если же равно нулю, то V будет знакоопределенной как в области так и в области . Тем самым условия теоремы Четаева выполнены, и, следовательно, невозмущенное движение будет неустойчивым.

Пример. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид

Рассмотрим определенно положительную функцию Ее производная в силу уравнения возмущенного движения будет равна

1) Если то , следовательно, невозмущенное движение (нулевое решение ) будет неустойчивым.

2) Если то , следовательно, невозмущенное движение (нулевое решение ) будет устойчивым, и при том асимптотически.