§ 2. Уравнения в вариациях

Будем по-прежнему рассматривать голономную систему с степенями свободы, находящуюся под действием сил, имеющих потенциал. Пусть обобщенные координаты системы будут а ее обобщенные импульсы Напишем уравнения движения системы в форме канонических уравнений Гамильтона:

где — функция Гамильтона. Исследуем устойчивость движения по отношению к величинам и Рассмотрим два частных решения системы (10.2), из которых одно: соответствует невозмущенному движению, а другое соответствует возмущенному движению. Здесь — отклонения (вариации) координат и импульсов.

Так как возмущенное движение описывается теми же уравнениями (10.2), что и невозмущенное движение, то

и

Раскладывая правые части в ряд Тэйлора по малым отклонениям в силу уравнений (10.2), получаем

где через обозначены члены, содержащие отклонения в степени, выше первой.

Ограничиваясь в этих разложениях лишь членами, линейными относительно вариаций т. е. отбрасывая и замечая, что вторые производные

после замены в них на обращаются в некоторые функции и зависящие в общем случае от времени (в частном случае они могут быть и постоянными), получаем так называемые уравнения в вариациях Пуанкаре

Эти линейные дифференциальные уравнения первого порядка представляют уравнения возмущенного движения, написанные в первом приближении. Ясно, что решение соответствующее невозмущенному движению, будет удовлетворять уравнениям (10.4). Чтобы изучить устойчивость невозмущенного движения относительно

обобщенных координат и обобщенных импульсов, необходимо изучить поведение величин удовлетворяющих уравнениям возмущенного движения (10.3).

Заменяя систему уравнений возмущенного движения (10.3) ее первым линейным приближением, мы, естественно, допускаем ошибку и, следовательно, по устойчивости в первом приближении, строго говоря, еще нельзя судить об устойчивости рассматриваемого невозмущенного движения.

А. М. Ляпунов определил условия, при которых исследование устойчивости по первому приближению позволяет судить об устойчивости невозмущенного движения.

Уравнения возмущенного движения (10.3) мы писали для случая, когда устойчивость по Ляпунову рассматривалась по отношению к величинам Напишем теперь уравнения возмущенного движения для более общего случая, когда устойчивость движения рассматривается по отношению к некоторым заданным непрерывным функциям от переменных Чтобы составить уравнения для возмущенного движения, рассмотрим разности:

Здесь — вариации величин , а множители и после подстановки в них значений соответствующих невозмущенному движению, обращаются в некоторые функции времени

Будем предполагать, что функции Ф независимы между собой, и уравнения (10.5) разрешимы относительно

Дифференцируя (10.5) по и пользуясь равенствами (10.6), получаем уравнения возмущенного движения, приведенные к нормальному виду:

где функции переменных и обращающиеся в нуль, когда все т. е.

Если правые части дифференциальных уравнений возмущенного движения (10.7) не зависят явным образом от времени то невозмущенное движение называют у становившимся у в противном случае — неустановившимся.

Невозмущенному движению будет соответствовать частное решение удовлетворяющее уравнениям (10.7).

Следовательно, задача об определении устойчивости движения относительно некоторых заданных функций времени, обобщенных координат и обобщенных скоростей приводится к задаче об определении устойчивости нулевого решения дифференциальных уравнений возмущенного движения (10.7).

Будем предполагать, что всякой системе вещественных значений возмущений подчиненных условию, что и где и — данные положительные, отличные от нуля числа, будет соответствовать некоторая система вещественных значений переменных которые будем обозначать через и как бы мало ни было данное число А эти начальные значения всегда можно сделать такими, чтобы они удовлетворяли неравенству

Примем также и обратное предположение: как бы малы ни были положительные, отличные от нуля числа всегда можно указать такое положительное

число , чтобы всякой системе вещественных значений удовлетворяющих условию (10.8), отвечала одна или несколько систем вещественных значений удовлетворяющих условию

При этих условиях значения будут играть такую же роль при исследовании устойчивости, как и возмущения и . Величины иногда также называют возмущениями.

Относительно функций примем предположение, что при всяком они являются голоморфными функциями переменных и в некоторой области, когда переменные удовлетворяют условию

они разлагаются в сходящиеся степенные ряды по целым степеням переменных

где суммирование распространяется на все целые неотрицательные числа удовлетворяющие условию

а коэффициенты являются известными функциями переменного Сформулируем теперь устойчивость по Ляпунову в переменных Нулевое решение уравнений возмущенного движения (10.7) будет устойчивым, если при всяком заданном положительном числе , как бы мало оно ни было, можно выбрать такое положительное число X, чтобы при всяких возмущениях удовлетворяющих условию

и при всяком выполнялось неравенство