§ 2. Задача о брахистохроне

Рассмотрим связку плоских кривых, проходящих через две наперед заданные точки по которым могут двигаться без трения материальные точки (рис. 13). Будем при этом предполагать, что силовое поле, в котором происходит рассматриваемое движение, является консервативным.

Время в течение которого точка М, двигаясь по какой-нибудь кривой переходит из положения в положение выражается интегралом:

где элемент дуги кривой — величина скорости.

Если принять, что начальные скорости точек равны нулю, то при заданном силовом поле время будет зависеть исключительно от вида кривой, по которой будет двигаться точка. Другими словами, время будет являться функционалом, зависящим от вида функции

При указанных выше условиях можно поставить следующую задачу. Из всевозможных кривых, проходящих через две фиксированные точки А и В, выбрать такую кривую, двигаясь по которой, точка М придет из положения А в положение В в минимальное время. Это есть задача о брахистохроне.

Рис. 13

Поскольку в задаче о брахистохроне речь идет о минимуме интеграла, она может быть решена с помощью вариационного исчисления, как это обычно и делается.

Мы покажем сейчас, что задача о брахистохроне может быть сведена к задаче о траектории в той постановке, как это изложено в § 1 настоящей главы.

Прежде всего укажем, что задача о брахистохроне эквивалентна задаче о распространении света. Действительно, согласно принципу Ферма, в случае оптически неоднородной среды свет между двумя точками А и В распространяется так, что время при этом является минимальным, т. е.

Здесь — показатель преломления, — элемент дуги кривой, по которой происходит распространение света. Если в формуле (4.15) положить эквивалентность обеих задач становится очевидной.

С другой стороны, если обратиться к принципу стационарного действия в форме Якоби

и принять, что полная энергия а потенциальная энергия равна

то интеграл I примет форму (4.15), т. е. будет равен времени прохождения света между точками А и В. Другими словами, задача о распространении света в оптически неоднородной среде эквивалентна динамической задаче о траектории точки, движущейся в консервативном поле при условии, что полная механическая энергия потенциальная энергия V определяется формулой (4.16), в которой вместо следует подставить Тогда

Для поля силы тяжести на основании интеграла энергии имеем

Поместим начало координат в точке А. Тогда будем иметь Так как начальная скорость движения точки равна нулю, то

и, следовательно,

Воспользуемся теперь дифференциальным уравнением траектории (4.5). Полагая в нем

получаем следующее дифференциальное уравнение для нахождения брахистохроны:

Делая подстановку и замечая, что

получаем уравнение с разделяющимися переменными:

Отсюда после интегрирования находим первый интеграл:

где С — постоянная интегрирования.

Для дальнейшего интегрирования удобно ввести параметр положив

Пользуясь указанной выше подстановкой, находим из уравнения (4.17):

Далее записываем

и

Отсюда после интегрирования получаем

При выбранной системе отсчета постоянная интегрирования равна нулю, и постоянную С тогда можно определить из условия прохождения кривой через точку

Таким образом, уравнение брахистохроны в поле силы тяжести можно написать в следующем виде:

Это есть уравнение циклоиды в параметрической форме.