§ 7. Устойчивость линейных систем

Пусть уравнения возмущенного движения будут линейными дифференциальными уравнениями первого порядка с постоянными коэффициентами вида

где — постоянные вещественные величины.

Такой вид, в частности, будут иметь уравнения в вариациях в случае, когда невозмущенное движение является установившимся. Нулевое решение будет соответствовать невозмущенному движению. Следовательно, изучение устойчивости невозмущенного движения сводится к изучению устойчивости нулевого тривиального решения системы (10.26).

Будем искать частное решение системы (10.26) в виде

Подставляя это значение в уравнения (10.26) и сокращая затем на множитель получаем систему однородных уравнений относительно коэффициентов

где — символ Кронекера:

Для того, чтобы однородная система уравнений (10.28) имела нетривиальное решение, т. е. чтобы не все были равны нулю, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы равнялся нулю:

Раскрывая этот определитель, получаем алгебраическое уравнение степени с вещественными коэффициентами (поскольку предполагаются вещественными):

из которого можем найти X. Уравнение (10.29) называется характеристическим или вековым для системы дифференциальных уравнений (10.26). Вид общего решения системы (10.26) будет зависеть от корней характеристического уравнения .

Изменение величин будёт зависеть от функций для чего необходимо знать корни уравнения (10.29).

Рассмотрим возможные значения корней уравнения (10.29).

1) Все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части:

Здесь могут быть положительны, отрицательны или равны нулю, а все отрицательны.

Тогда все функции

при неограниченном возрастании будут по модулю неограниченно уменьшаться:

Следовательно, невозмущенное движение будет устойчивым и при том асимптотически.

Асимптотическая устойчивость в рассматриваемом случае (когда вещественные части корней отрицательны) не нарушается и при кратных корнях характеристического уравнения

Пусть, например, корень имеет кратность т. Тогда частное решение соответствующее корню будет содержать так называемые «вековые члены»

вида , и вместо (10.30) частное решение следует писать в следующей форме:

Из курса анализа известно, что

где — полином, а — либо отрицательное число, либо комплексное число с отрицательной вещественной частью. Следовательно, и в данном случае

что и доказывает асимптотическую устойчивость невозмущенного движения.

2) Среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, вещественная часть которого положительна.

Обозначим этот корень через . Здесь может быть положительно, отрицательно или равно нулю, а положительно.

Тогда частное решение будет иметь вид

и при неограниченном возрастании величина модулю будет неограниченно возрастать и, следовательно, невозмущенное движение будет неустойчивым.

В случае кратного корня может оказаться полиномом от Но это не нарушает сделанного вывода.

3) Среди корней характеристического уравнения нет ни одного корня с положительной вещественной

частью, но есть простые корни, вещественные части которых равны нулю, т. е.

В этом случае величины

будут ограничены по модулю для всякого каковы бы ни были значения начальных возмущений . Следовательно, задавая произвольное число всегда можно найти такое положительное число что при выполнении условия

будем иметь

для всякого что доказывает устойчивость невозмущенного движения .

Следует, однако, заметить, что в данном случае невозмущенное движение не будет обладать асимптотической устойчивостью, так как при произвольно заданных начальных возмущениях все могут и не стремиться одновременно к нулю при .

Пример. Рассмотрим движение груза с массой подвешенного к пружине с жесткостью с, в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости (коэффициент пропорциональности равен Уравнение движения будет

Его можно записать в следующей форме:

где

Напишем матрицу коэффициентов системы (10.31):

Характеристическое уравнение будет иметь вид

Так как при корни

простые и имеют отрицательную вещественную часть, то невозмущенное движение (соответствующее положению равновесия будет асимптотически устойчивым.