§ 5. Гироскопические системы

Следуя Томсону и Тэту, силы называют гироскопическими, если сумма их работ на любом действительном перемещении равна нулю.

Если гироскопические силы обозначить через то, согласно определению, будем иметь

Разделив все члены на получим

Отсюда следует, что гироскопические силы зависят от скоростей.

Пусть гироскопические силы являются линейными функциями скоростей

Здесь зависят от обобщенных координат и времени

Посмотрим, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты чтобы выполнялось соотношение (5.28).

Подставляя значения гироскопических сил из (5.29) в формулу (5.28), получаем

Отсюда следует, что

Это означает, что если матрица из коэффициентов линейной формы (5.29)

кососимметрическая, т. е. если

то сумма работ сил на любом действительном перемещении будет тождественно равна нулю, и, следовательно, силы будут гироскопическими.

Из курса высшей алгебры известно, что кососимметрический определитель нечетного порядка тождественно равен нулю, а кососимметрический определитель четного порядка представляет квадрат целой рациональной функции его элементов и, следовательно, неотрицателен.

Если считать, что на механическую систему кроме потенциальных сил действуют еще гироскопические силы то, полагая получаем из формулы (5.27)

и, следовательно,

Это означает, что если на систему кроме потенциальных сил действуют еще гироскопические силы, то закон сохранения механической энергии при этом не нарушается.

Пример. Рассмотрим движение электрона в постоянном магнитном поле.

Уравнение движения электрона в таком поле имеет вид

где — масса электрона, абсолютная величина его заряда, с — скорость света в вакууме, — скорость электрона, а Н - напряженность магнитного поля. Сила Лоренца, обусловленная действием магнитного поля

будет силой гироскопической, так как в силу перпендикулярности к направлению движения она не совершает работы. Действительно, элементарная работа силы Лоренца Г на бесконечно малом перемещении тождественно равна нулю:

Если ось направить параллельно вектору Н, то уравнения движения в проекциях на оси координат будут:

Гироскопические силы

зависят линейным образом от скоростей, а матрица их коэффициентов будет кососимметрической:

Пример. Рассмотрим относительное движение точки.

Оно описывается уравнением:

Здесь — масса точки, относительное ускорение, — сила, приложенная к точке, и — соответственно переносная и кориолисова силы инерции.

Кориолисова сила инерции

является гироскопической силой. Здесь относительная скорость, со — вектор переносной угловой скорости.

Действительно, работа силы на любом относительном бесконечно малом перемещении тождественно равна нулю. Если через обозначить координаты точки относительно подвижной системы отсчета, через — проекции кориолисовой силы а через проекции вектора угловой скорости со, то получим

и матрица из коэффициентов будет кососимметричной. Действительно, имеем