§ 8. Критерий асимптотической устойчивости Рауса — Гурвица

В предыдущем параграфе было показано, что для асимптотической устойчивости невозмущенного движения необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения (10.29), составленного для матрицы коэффициентов рассматриваемой стационарной линейной системы (10.26), лежали в левой половине комплексной плоскости, т. е. имели бы отрицательные вещественные части.

Полином с вещественными коэффициентами

все корни которого удовлетворяют указанному условию, т. е. имеют отрицательные вещественные части, носит название полинома Гурвица.

Необходимые и достаточные условия того, чтобы корни полинома с вещественными коэффициентами имели отрицательные вещественные части, впервые

были получены Раусом. Независимо от Рауса эти условия были даны Гурвицем в виде неравенств:

где — так называемые «определители Гурвица», имеющие следующий вид:

Условия (10.32) носят название условий Рауса — Гурвица. Они выражают необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости.