§ 4. Производные главной функции Гамильтона

Рассмотрим действие 5 в форме главной функции Гамильтона, зависящей от параметров, определяющих начальное и конечное положения системы и соответствующих моментов времени. Считая время и координаты, соответствующие конечному положению системы, переменными, обозначим их соответственно через и а параметры, определяющие положение системы в начальный момент через . Тогда главная функция Гамильтона будет зависеть от переменных и параметров

Если изменение функции действия происходит в результате варьирования начального и конечного положений системы, т. е. обобщенных координат , а также варьирования моментов времени и то вариация главной функции Гамильтона равна

С другой стороны, если в формуле (7.11) опустить индекс (2), соответствующий конечному положению системы, а индекс (1), соответствующий начальному положению системы, заменить индексом (0), то будем иметь

Сравнивая формулы (7.12) и (7.13), находим

Отсюда, вследствие независимости вариаций получаем

и

Таким образом, частные производные от главной функции Гамильтона по обобщенным координатам равны соответствующим обобщенным импульсам а частная производная от по времени равна функции Гамильтона взятой с обратным знаком.

Если же главную функцию Гамильтона продифференцировать по обобщенным координатам определяющим начальное положение системы, то получим начальные значения обобщенных импульсов с обратными знаками. Частная производная от функции по параметру равна начальному значению функции Гамильтона