Главная > Введение в аналитическую механику
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 8. Метод разделения переменных

Может показаться, что метод Гамильтона — Якоби, связанный с интегрированием нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, сложнее, чем метод Гамильтона, сводящий изучение проблемы движения к интегрированию совокупной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Однако во многих случаях интегрирование уравнения Гамильтона — Якоби оказывается проще, чем интегрирование канонической системы уравнений Гамильтона. Это наглядно можно показать в случае, когда удается произвести разделение переменных. Сущность метода разделения переменных состоит в следующем.

Пусть какая-либо координата, например, и соответствующий этой координате обобщенный импульс входят в функцию Гамильтона Н в виде некото. рой функции не содержащей ни времени ни каких-либо других координат и импульсов .

Уравнение Гамильтона—Якоби в этом случае будет иметь следующий вид:

где индекс пробегает все значения, за исключением первого Решение в этом случае будем искать в виде

Подставив это выражение в уравнение (7.42), получим

Пусть решение этого уравнения найдено. Тогда, будучи подставлено в уравнение (7.43), оно обратит его в тождество, справедливое при любом значении координаты Но при изменении координаты изменяется функция а потому, для того, чтобы равенство (7.43) тождественно выполнялось, необходимо, чтобы сама функция была постоянной. Таким образом, уравнение (7.43) распадается на два уравнения:

и

первое из которых теперь есть обыкновенное дифференциальное уравнение, а второй — по-прежнему остается уравнением в частных производных, но с числом переменных, уменьшенным на единицу.

Этот процесс разделения переменных может быть продолжен и далее, если функция Гамильтона Н может быть представлена в таком виде:

где функции зависят лишь от одной координаты и соответствующего обобщенного импульса :

Представляя решение в этом случае в виде:

с помощью рассуждений, аналогичных проведенным выше, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

и одно уравнение в частных производных вида

где число переменных равно .

Метод разделения переменных всегда можно применить, если имеются циклические координаты. Пусть, например, координаты являются циклическими. Поскольку эти координаты не входят явным образом в функцию Лагранжа, они не будут входить явно и в функцию Гамильтона а следовательно, и в уравнение Гамильтона — Якоби. Так как обобщенные импульсы соответствующие циклическим координатам тсохраняют постоянные значения:

то уравнение Гамильтона — Якоби принимает вид

Полагая

получаем для уравнения Гамильтона — Якоби следующее выражение:

где искомая функция теперь уже зависит от переменных.

Для консервативных систем, когда время явно не входит в функцию Гамильтона, а координаты по-прежнему являются циклическими, решение можно искать в виде

Уравнение Гамильтона-Якоби при этом принимает следующий вид:

где искомая функция зависит от обобщенных координат а постоянная равна полной механической энергии системы Е.

Если все координаты, кроме одной, например, окажутся циклическими (т. е. если ), то задача сведется к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения вида

После того, как в результате интегрирования уравнения (7.48) будет найдена функция полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно представить в таком виде:

Время здесь играет роль циклической координаты, а соответствующий ей обобщенный импульс равен

полной механической энергии Е, взятой с обратным знаком:

В заключение укажем, что применение метода разделения переменных при интегрировании уравнения Гамильтона — Якоби находится в зависимости от того, удачно ли выбраны обобщенные координаты, определяющие конфигурацию системы. В одной системе координат переменные могут быть разделены, а в другой этого достичь нельзя. При выборе системы координат обычно руководствуются характером рассматриваемой задачи.

Пример 1. Составить уравнение Гамильтона — Якоби для свободной материальной точки массой движущейся в консервативном поле.

Так как точка движется в консервативном поле, то полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби будет иметь вид

где Е — полная механическая энергия точки, а функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению

При составлении функции Гамильтона Н воспользуемся результатами, полученными при решении задачи на стр. 159. Имеем:

а) В декартовых координатах. Полагая — напишем функцию Гамильтона Н:

Здесь потенциальная энергия, а

Следовательно, уравнение Гамильтона — Якоби будет иметь вид

б) В цилиндрических координатах. Полагая — напишем функцию Гамильтона Н:

Так как

то уравнение Гамильтона — Якоби принимает следующий вид:

в) В сферических координатах. Полагая напишем функцию Гамильтона Я:

Так как

то уравнение Гамильтона—Якоби будет иметь следующий вид:

Возможность применения метода разделения переменных при интегрировании полученных уравнений Гамильтона—Якоби будет зависеть от вида функции V% выражающей потенциальную энергию точки.

Пример 2. Рассмотреть движение точки массы движущейся в центральном поле, если ее

потенциальная энергия выражается функцией , а ее полная энергия равна Е.

Так как при движении в центральном поле точка совершает плоское движение, то перейдем к полярным координатам Функция Гамильтона Н будет иметь следующий вид:

где

Следовательно, уравнение Гамильтона — Якоби будет иметь вид:

Так как здесь координата является циклической, то можно применить метод разделения переменных. Полагая

где а — постоянная, и учитывая, что , получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для определения функции

Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

где — постоянная интегрирования.

Обозначая результат интегрирования через запишем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в виде

Следуя Якоби, составим полную систему независимых интегралов уравнений движения, для чего воспользуемся формулами (7.26) и (7.27). Имеем

и

Постоянные мы в дальнейшем будем обозначать соответственно через .

Выпишем полную систему независимых интегралов:

Эти уравнения содержат четыре произвольных постоянных: которые определяются начальными условиями.

Полученная таким образом полная система независимых интегралов описывает все возможные движения точки в центральном поле в зависимости от вида функции и от условий, определяющих начальное состояние точки.

Пример 3. Рассмотреть движения свободной точки массы в однородном поле силы тяжести.

Отнесем движение точки к декартовой системе координат, причем ось направим вертикально вверх.

При таком выборе системы координат потенциальная энергия будет равна и функция Гамильтона будет иметь вид

Замечая, что

напишем уравнение Гамильтона — Якоби:

Так как поле силы тяжести есть поле консервативное, а координаты являются циклическими, то полный интеграл, согласно формуле (7.49), можно написать в такой форме:

Для нахождения функции имеем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

или после упрощений

Отсюда, интегрируя, находим

где — постоянная интегрирования.

Определив таким образом функцию которая будет зависеть от и параметров можем написать полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби:

Напишем теперь полную систему независимых интегралов уравнений движения, для чего воспользуемся формулами (7.26) и (7.27). Имеем

Обозначая постоянные соответственно через напишем полную систему интегралов уравнений движения в такой форме:

Полученные уравнения содержат шесть произвольных постоянных: которые определяются начальными условиями.

Рассмотренную задачу можно было, конечно, решить элементарными методами. Мы привели ее здесь с единственной целью проиллюстрировать метод разделения переменных при интегрировании уравнения Гамильтона — Якоби.

Пример 4. Рассмотреть движение системы с одной степенью свободы в консервативном поле с потенциальной функцией .

Напишем функцию Лагранжа

где — приведенная масса системы.

Определим обобщенный импульс

Следовательно, функция Гамильтона Н будет равна

Обозначая полную энергию системы через Е, можем написать

Уравнение Гамильтона — Якоби будет иметь следующий вид:

Полагая

получаем для определения функции следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

Отсюда

где — постоянная интегрирования.

Зная потенциальную функцию и интегрируя полученное уравнение, находим функцию и главную функцию Гамильтона S:

Напишем теперь с помощью теоремы Якоби полную систему независимых интегралов. Так как система имеет одну степень свободы, то будем иметь два независимых интеграла:

Таким образом, получаем

и

Если проинтегрировать первое уравнение и определить как функцию то получим уравнение движения. Второе же уравнение, как нетрудно убедиться, выражает закон сохранения энергии:

1
Оглавление
email@scask.ru