§ 8. Метод разделения переменных

Может показаться, что метод Гамильтона — Якоби, связанный с интегрированием нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, сложнее, чем метод Гамильтона, сводящий изучение проблемы движения к интегрированию совокупной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Однако во многих случаях интегрирование уравнения Гамильтона — Якоби оказывается проще, чем интегрирование канонической системы уравнений Гамильтона. Это наглядно можно показать в случае, когда удается произвести разделение переменных. Сущность метода разделения переменных состоит в следующем.

Пусть какая-либо координата, например, и соответствующий этой координате обобщенный импульс входят в функцию Гамильтона Н в виде некото. рой функции не содержащей ни времени ни каких-либо других координат и импульсов .

Уравнение Гамильтона—Якоби в этом случае будет иметь следующий вид:

где индекс пробегает все значения, за исключением первого Решение в этом случае будем искать в виде

Подставив это выражение в уравнение (7.42), получим

Пусть решение этого уравнения найдено. Тогда, будучи подставлено в уравнение (7.43), оно обратит его в тождество, справедливое при любом значении координаты Но при изменении координаты изменяется функция а потому, для того, чтобы равенство (7.43) тождественно выполнялось, необходимо, чтобы сама функция была постоянной. Таким образом, уравнение (7.43) распадается на два уравнения:

и

первое из которых теперь есть обыкновенное дифференциальное уравнение, а второй — по-прежнему остается уравнением в частных производных, но с числом переменных, уменьшенным на единицу.

Этот процесс разделения переменных может быть продолжен и далее, если функция Гамильтона Н может быть представлена в таком виде:

где функции зависят лишь от одной координаты и соответствующего обобщенного импульса :

Представляя решение в этом случае в виде:

с помощью рассуждений, аналогичных проведенным выше, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

и одно уравнение в частных производных вида

где число переменных равно .

Метод разделения переменных всегда можно применить, если имеются циклические координаты. Пусть, например, координаты являются циклическими. Поскольку эти координаты не входят явным образом в функцию Лагранжа, они не будут входить явно и в функцию Гамильтона а следовательно, и в уравнение Гамильтона — Якоби. Так как обобщенные импульсы соответствующие циклическим координатам тсохраняют постоянные значения:

то уравнение Гамильтона — Якоби принимает вид

Полагая

получаем для уравнения Гамильтона — Якоби следующее выражение:

где искомая функция теперь уже зависит от переменных.

Для консервативных систем, когда время явно не входит в функцию Гамильтона, а координаты по-прежнему являются циклическими, решение можно искать в виде

Уравнение Гамильтона-Якоби при этом принимает следующий вид:

где искомая функция зависит от обобщенных координат а постоянная равна полной механической энергии системы Е.

Если все координаты, кроме одной, например, окажутся циклическими (т. е. если ), то задача сведется к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения вида

После того, как в результате интегрирования уравнения (7.48) будет найдена функция полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно представить в таком виде:

Время здесь играет роль циклической координаты, а соответствующий ей обобщенный импульс равен

полной механической энергии Е, взятой с обратным знаком:

В заключение укажем, что применение метода разделения переменных при интегрировании уравнения Гамильтона — Якоби находится в зависимости от того, удачно ли выбраны обобщенные координаты, определяющие конфигурацию системы. В одной системе координат переменные могут быть разделены, а в другой этого достичь нельзя. При выборе системы координат обычно руководствуются характером рассматриваемой задачи.

Пример 1. Составить уравнение Гамильтона — Якоби для свободной материальной точки массой движущейся в консервативном поле.

Так как точка движется в консервативном поле, то полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби будет иметь вид

где Е — полная механическая энергия точки, а функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению

При составлении функции Гамильтона Н воспользуемся результатами, полученными при решении задачи на стр. 159. Имеем:

а) В декартовых координатах. Полагая — напишем функцию Гамильтона Н:

Здесь — потенциальная энергия, а

Следовательно, уравнение Гамильтона — Якоби будет иметь вид

б) В цилиндрических координатах. Полагая — напишем функцию Гамильтона Н:

Так как

то уравнение Гамильтона — Якоби принимает следующий вид:

в) В сферических координатах. Полагая напишем функцию Гамильтона Я:

Так как

то уравнение Гамильтона—Якоби будет иметь следующий вид:

Возможность применения метода разделения переменных при интегрировании полученных уравнений Гамильтона—Якоби будет зависеть от вида функции V% выражающей потенциальную энергию точки.

Пример 2. Рассмотреть движение точки массы движущейся в центральном поле, если ее

потенциальная энергия выражается функцией , а ее полная энергия равна Е.

Так как при движении в центральном поле точка совершает плоское движение, то перейдем к полярным координатам Функция Гамильтона Н будет иметь следующий вид:

где

Следовательно, уравнение Гамильтона — Якоби будет иметь вид:

Так как здесь координата является циклической, то можно применить метод разделения переменных. Полагая

где а — постоянная, и учитывая, что , получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для определения функции

Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

где — постоянная интегрирования.

Обозначая результат интегрирования через запишем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в виде

Следуя Якоби, составим полную систему независимых интегралов уравнений движения, для чего воспользуемся формулами (7.26) и (7.27). Имеем

и

Постоянные мы в дальнейшем будем обозначать соответственно через .

Выпишем полную систему независимых интегралов:

Эти уравнения содержат четыре произвольных постоянных: которые определяются начальными условиями.

Полученная таким образом полная система независимых интегралов описывает все возможные движения точки в центральном поле в зависимости от вида функции и от условий, определяющих начальное состояние точки.

Пример 3. Рассмотреть движения свободной точки массы в однородном поле силы тяжести.

Отнесем движение точки к декартовой системе координат, причем ось направим вертикально вверх.

При таком выборе системы координат потенциальная энергия будет равна и функция Гамильтона будет иметь вид

Замечая, что

напишем уравнение Гамильтона — Якоби:

Так как поле силы тяжести есть поле консервативное, а координаты являются циклическими, то полный интеграл, согласно формуле (7.49), можно написать в такой форме:

Для нахождения функции имеем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

или после упрощений

Отсюда, интегрируя, находим

где — постоянная интегрирования.

Определив таким образом функцию которая будет зависеть от и параметров можем написать полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби:

Напишем теперь полную систему независимых интегралов уравнений движения, для чего воспользуемся формулами (7.26) и (7.27). Имеем

Обозначая постоянные соответственно через напишем полную систему интегралов уравнений движения в такой форме:

Полученные уравнения содержат шесть произвольных постоянных: которые определяются начальными условиями.

Рассмотренную задачу можно было, конечно, решить элементарными методами. Мы привели ее здесь с единственной целью проиллюстрировать метод разделения переменных при интегрировании уравнения Гамильтона — Якоби.

Пример 4. Рассмотреть движение системы с одной степенью свободы в консервативном поле с потенциальной функцией .

Напишем функцию Лагранжа

где — приведенная масса системы.

Определим обобщенный импульс

Следовательно, функция Гамильтона Н будет равна

Обозначая полную энергию системы через Е, можем написать

Уравнение Гамильтона — Якоби будет иметь следующий вид:

Полагая

получаем для определения функции следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

Отсюда

где — постоянная интегрирования.

Зная потенциальную функцию и интегрируя полученное уравнение, находим функцию и главную функцию Гамильтона S:

Напишем теперь с помощью теоремы Якоби полную систему независимых интегралов. Так как система имеет одну степень свободы, то будем иметь два независимых интеграла:

Таким образом, получаем

и

Если проинтегрировать первое уравнение и определить как функцию то получим уравнение движения. Второе же уравнение, как нетрудно убедиться, выражает закон сохранения энергии: