Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 8. Метод разделения переменныхМожет показаться, что метод Гамильтона — Якоби, связанный с интегрированием нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, сложнее, чем метод Гамильтона, сводящий изучение проблемы движения к интегрированию совокупной системы Пусть какая-либо координата, например, Уравнение Гамильтона—Якоби в этом случае будет иметь следующий вид:
где индекс
Подставив это выражение в уравнение (7.42), получим
Пусть решение этого уравнения найдено. Тогда, будучи подставлено в уравнение (7.43), оно обратит его в тождество, справедливое при любом значении координаты
и
первое из которых теперь есть обыкновенное дифференциальное уравнение, а второй — по-прежнему остается уравнением в частных производных, но с числом переменных, уменьшенным на единицу. Этот процесс разделения переменных может быть продолжен и далее, если функция Гамильтона Н может быть представлена в таком виде:
где функции
Представляя решение в этом случае в виде:
с помощью рассуждений, аналогичных проведенным выше, получаем систему
и одно уравнение в частных производных вида
где число переменных равно Метод разделения переменных всегда можно применить, если имеются циклические координаты. Пусть, например, координаты
то уравнение Гамильтона — Якоби принимает вид
Полагая
получаем для уравнения Гамильтона — Якоби следующее выражение:
где искомая функция теперь уже зависит от Для консервативных систем, когда время
Уравнение Гамильтона-Якоби при этом принимает следующий вид:
где искомая функция Если все координаты, кроме одной, например,
После того, как в результате интегрирования уравнения (7.48) будет найдена функция
Время полной механической энергии Е, взятой с обратным знаком:
В заключение укажем, что применение метода разделения переменных при интегрировании уравнения Гамильтона — Якоби находится в зависимости от того, удачно ли выбраны обобщенные координаты, определяющие конфигурацию системы. В одной системе координат переменные могут быть разделены, а в другой этого достичь нельзя. При выборе системы координат обычно руководствуются характером рассматриваемой задачи. Пример 1. Составить уравнение Гамильтона — Якоби для свободной материальной точки массой Так как точка движется в консервативном поле, то полный интеграл
где Е — полная механическая энергия точки, а функция
При составлении функции Гамильтона Н воспользуемся результатами, полученными при решении задачи на стр. 159. Имеем: а) В декартовых координатах. Полагая
Здесь
Следовательно, уравнение Гамильтона — Якоби будет иметь вид
б) В цилиндрических координатах. Полагая
Так как
то уравнение Гамильтона — Якоби принимает следующий вид:
в) В сферических координатах. Полагая
Так как
то уравнение Гамильтона—Якоби будет иметь следующий вид:
Возможность применения метода разделения переменных при интегрировании полученных уравнений Гамильтона—Якоби будет зависеть от вида функции V% выражающей потенциальную энергию точки. Пример 2. Рассмотреть движение точки массы потенциальная энергия выражается функцией Так как при движении в центральном поле точка совершает плоское движение, то перейдем к полярным координатам
где
Следовательно, уравнение Гамильтона — Якоби будет иметь вид:
Так как здесь координата
где а — постоянная, и учитывая, что
Разделяя переменные и интегрируя, получаем:
где Обозначая результат интегрирования через
Следуя Якоби, составим полную систему независимых интегралов уравнений движения, для чего воспользуемся формулами (7.26) и (7.27). Имеем
и
Постоянные Выпишем полную систему независимых интегралов:
Эти уравнения содержат четыре произвольных постоянных: Полученная таким образом полная система независимых интегралов описывает все возможные движения точки в центральном поле в зависимости от вида функции Пример 3. Рассмотреть движения свободной точки массы Отнесем движение точки к декартовой системе координат, причем ось При таком выборе системы координат потенциальная энергия будет равна
Замечая, что
напишем уравнение Гамильтона — Якоби:
Так как поле силы тяжести есть поле консервативное, а координаты
Для нахождения функции
или после упрощений
Отсюда, интегрируя, находим
где Определив таким образом функцию
Напишем теперь полную систему независимых интегралов уравнений движения, для чего воспользуемся формулами (7.26) и (7.27). Имеем
Обозначая постоянные
Полученные уравнения содержат шесть произвольных постоянных: Рассмотренную задачу можно было, конечно, решить элементарными методами. Мы привели ее здесь с единственной целью проиллюстрировать метод разделения переменных при интегрировании уравнения Гамильтона — Якоби. Пример 4. Рассмотреть движение системы с одной степенью свободы в консервативном поле с потенциальной функцией Напишем функцию Лагранжа
где Определим обобщенный импульс
Следовательно, функция Гамильтона Н будет равна
Обозначая полную энергию системы через Е, можем написать
Уравнение Гамильтона — Якоби будет иметь следующий вид:
Полагая
получаем для определения функции
Отсюда
где Зная потенциальную функцию
Напишем теперь с помощью теоремы Якоби полную систему независимых интегралов. Так как система имеет одну степень свободы, то будем иметь два независимых интеграла:
Таким образом, получаем
и
Если проинтегрировать первое уравнение и определить
|
1 |
Оглавление
|