§ 4. Функция Рауса. Уравнения движения в форме Рауса

Уравнения движения системы могут быть записаны в различных формах, в зависимости от того, с помощью какой функции они составлены.

Например, если движение системы описывать с помощью функции Лагранжа то уравнения движения принимают форму уравнений Лагранжа второго рода (6.7), если же его описывать с помощью функции Гамильтона то они принимают форму канонических уравнений Гамильтона (6.11).

В первом случае мы получаем дифференциальных уравнений второго порядка, во втором случае — систему уравнений первого порядка.

Раус (1831 —1907) показал, что при введении новой функции, которую в дальнейшем мы будем называть функцией Рауса, часть уравнений движения будет иметь форму уравнений Лагранжа, а другая часть — форму канонических уравнений Гамильтона.

Это преобразование Рауса особенно удобно в том случае, когда имеются циклические координаты, т. е. обобщенные координаты, входящие в функцию Лагранжа только своими производными. В этом случае, как показал Раус, число уравнений движения может быть уменьшено на число циклических координат.

Разобьем все обобщенные координаты на две группы. Первую группу, состоящую из координат, будем обозначать через а другую, состоящую

из координат, будем обозначать, как обычно, через . Тогда функция Лагранжа будет зависеть от :

Следовательно,

Обозначим обобщенные импульсы, соответствующие обобщенным скоростям . Тогда будем иметь

и, следовательно,

что можно переписать в такой форме:

Введем в рассмотрение функцию Рауса, зависящую в общем случае от времени обобщенных координат обобщенных скоростей обобщенных координат и обобщенных импульсов (переменные Рауса):

С помощью функции Рауса R (6.15) соотношению (6.14) можно придать следующий вид:

С другой стороны, полный дифференциал функции Рауса равен

Сравнивая формулы (6.16) и (6.17), находим

и далее

Переходя в уравнениях Лагранжа, составленных для координат

от функции Лагранжа к функции Рауса [с помощью формул (6.18)], получаем

т. е. функция Рауса играет роль функции Лагранжа по отношению к обобщенным координатам Уравнения же (6.19) представляют канонические уравнения

Гамильтона, в которых роль функции Гамильтона играет функция Рауса R.

Таким образом, функция Рауса является лагранжевой функцией для координат и гамильтоновой функцией для координат Уравнения движения с помощью функции Рауса получают смешанный вид: они состоят из уравнений Лагранжа (6.20) и уравнений Гамильтона (6.19).

Преобразование Рауса, как мы уже говорили, особенно удобно тогда, когда имеются циклические координаты. Пусть число циклических координат равно Обозначим их через Если координата является циклической, т. е. не входит явно в функцию Лагранжа, то она, как это следует из формулы (6.15), не будет входить также и в функцию Рауса. Тогда будем иметь

Следовательно, на основании (6.19):

что после интегрирования дает первых интегралов:

Так как обобщенные импульсы соответствующие циклическим координатам сохраняют постоянные значения, то функция Рауса является функцией времени обобщенных координат обобщенных скоростей и постоянных интегрирования

Следовательно, уравнения движения (6.20), имеющие форму уравнений Лагранжа, в которых вместо функции Лагранжа стоит функция Рауса, могут быть непосредственно проинтегрированы.

Из уравнений (6.20) путем квадратур находятся обобщенные координаты как функции времени и постоянных

Таким образом, при наличии циклических координат введение функции Рауса позволяет уменьшить число уравнений движения, подлежащих интегрированию, и, следовательно, динамическая задача с обобщенными координатами, из которых являются циклическими, сводится к динамической задаче с обобщенными координатами. В новой задаче роль функции Лагранжа играет функция Рауса

Если функция Рауса R известна, то циклические координаты определяются с помощью одной квадратуры. Действительно, из уравнений (6.19) имеем:

и

где — постоянные интегрирования.

Запишем теперь обобщенный интеграл энергии

с помощью функции Рауса Имеем

Но

а

и, следовательно, обобщенный интеграл энергии, выраженный с помощью функции Рауса, будет иметь вид

Если функция Лагранжа не зависит явно от времени, то и функция Рауса также не зависит явно от времени, так как

Если, кроме того, функция Лагранжа является однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей, то, как известно, полная механическая энергия системы сохраняет постоянное значение, и обобщенный интеграл энергии переходит в интеграл энерги:

В качестве примера применения метода Рауса рассмотрим механическую систему с двумя степенями свободы, кинетическая энергия которой Т есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей вида:

(здесь коэффициенты — постоянные величины), а потенциальная энергия Уесть функция только одной координаты Начальное состояние системы пусть будет задано: при

Составим функцию Лагранжа:

Отсюда следует, что координата является циклической. Обозначим ее через Тогда будем иметь

Обобщенный импульс соответствующий циклической координате сохраняет постоянное значение:

Постоянную найдем из условия, что в Начальный момент . Отсюда

Подставляя найденное значение в (6.24), определяем

Составим функцию Рауса :

Подставляя сюда из (6.25) и из (6.23), после преобразований получаем

Составляем уравнение движения с помощью функции Рауса

Имеем

Следовательно, задача сводится к интегрированию следующего уравнения:

Если вид функции известен, то из уравнения (6.26) с помощью квадратур можно определить функцию . Если воспользоваться интегралом энергии (6.22)

то решение сведется к одной квадратуре:

Отсюда находим

где

Интегрируя и замечая, что при получаем

Это равенство определяет координату как функцию времени

Циклическую координату можно найти, если воспользоваться соотношением (6.25). Интегрируя и замечая, что при получаем

Окончательно находим

Таким образом, задача полностью решена.

Покажем теперь, что для консервативной системы, все обобщенные координаты которой являются циклическими, закон движения имеет вид

где постоянные.

Из условия цикличности координат вытекает, что функция Лагранжа не зависит от а из

условия консервативности системы следует, что она не зависит также и от времени таким образом

Из уравнений Лагранжа получаем при этом, что все обобщенные импульсы соответствующие обобщенным координатам имеют постоянные значения:

Для консервативных систем значение функции Гамильтона И совпадает со значением Е полной механической энергии системы. Поскольку все координаты циклические и система консервативна, функция Гамильтона будет зависеть лишь от обобщенных импульсов

или

Напишем уравнение Гамильтона для

Интегрируя полученное уравнение, находим

где — постоянные интегрирования.