Глава VIII. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

При интегрировании уравнений движения системы часто приходится осуществлять переход от одних переменных к другим, при котором форма канонических уравнений Гамильтона не изменяется.

Особую роль при этом играет преобразование, известное под названием преобразования Лежандра.

К рассмотрению этого преобразования мы сейчас и перейдем.

§ 1. Преобразование Лежандра

Рассмотрим сначала для простоты случай двух переменных. Пусть 2 есть функция двух независимых переменных Дифференциал этой функции равен

где

Произведем замену переменных, взяв в качестве независимых переменных тогда х и у будут функциями от :

Рассмотрим функцию такую, чтобы ее полный дифференциал был равен

или

Функция носит название производящей функции по отношению к переменным х и у, а функция — производящей функции по отношению к переменным Сам же переход от переменных х и у к переменным и связанный с этим переход от производящей функции к производящей функции носит название преобразования Лежандра.

В случае двух переменных преобразование Лежандра, как в этом легко убедиться, осуществляется с помощью функции вида

Действительно, взяв полный дифференциал и воспользовавшись выражением для получим

и таким образом убеждаемся, что преобразование (8.3) является преобразованием Лежандра.

В случае, когда требуется от переменных перейти к переменным , следовательно, от производящей функции — к производящей функции , преобразование Лежандра имеет вид:

Действительно

что после подстановки

дает

Отсюда получаем:

Аналогично можно перейти от переменных х, у к переменным u, у. Соответствующее преобразование Лежандра будет иметь вид

Отсюда

и, следовательно,

Все сказанное выше относительно двух переменных х и у можно обобщить на случай любого числа переменных.

Пусть есть функция переменных

Тогда полный дифференциал будет равен:

где

Если теперь от независимых переменных рейти к независимым переменным то соответствующая производящая функция определится с помощью преобразования Лежандра вида

Взяв полный дифференциал и воспользовавшись выражением для получим

где

Чтобы от переменных перейти к переменным необходимо выполнить следующее преобразование Лежандра:

Тогда

что после подстановки значения из (8.4) дает

Отсюда следует, что

Применим теперь преобразование Лежандра к уравнениям механики.

Для функции Лагранжа зависящей от переменных: , имеем

Введем обобщенные импульсы

Так как из уравнений Лагранжа

то можно представить в следующем виде:

Таким образом, функция Лагранжа является производящей по отношению к переменным Лагранжа .

Перейдем теперь от переменных Лагранжа к переменным Гамильтона

Соответствующее преобразование Лежандра, согласно (8.5), будет иметь вид

что совпадает с функцией Гамильтона.

Таким образом, функция Гамильтона является производящей функцией по отношению к переменным Гамильтона: . Действительно,

что после подстановки из (8.6) дает

С другой стороны

Сравнивая две последние формулы, находим

и

а это — канонические уравнения Гамильтона.

Таким образом, канонические уравнения Гамильтона получаются в результате преобразования Лежандра при переходе от переменных Лагранжа к переменным Гамильтона