§ 4. Другая формулировка принципа Гамильтона

Исходя из физического представления функции Лагранжа как разности между кинетической энергией Т и потенциальной энергией V системы, принципу Гамильтона можно дать и другую формулировку. Действие по Гамильтону равно

На основании теоремы о среднем значении имеем:

где Т и V — соответственно средние значения кинетической и потенциальной энергии системы на рассматриваемом интервале времени т. е.

Следовательно, принцип Гамильтона может быть записан в следующей форме:

Соответственно этому принцип Гамильтона может быть сформулирован следующим образом: действительное движение системы между точками А и В происходит таким образом, что разность между средними по времени значениями кинетической и потенциальной энергий системы имеет минимум, по сравнению со значениями, которые эта разность принимает при движении системы по кривым сравнения между теми же точками А и В в предположении, что промежуток времени остается прежним.

В качестве примера, иллюстрирующего принцип Гамильтона, рассмотрим линейный осциллятор.

Пусть материальная точка с массой движется прямолинейно под действием восстанавливающей силы пропорциональной смещению от положения устойчивого равновесия, т. е. , где с — коэффициент пропорциональности.

Уравнение движения имеет вид

или

Это есть дифференциальное уравнение свободных колебаний; его общий интеграл равен .

Для простоты рассмотрим случай, когда колеблющаяся точка (осциллятор) в начальный момент находится в положении равновесия Это дает для начальной фазы а значение, равное нулю, и, следовательно,

В пространстве действительному перемещению осциллятора будет соответствовать дуга синусоиды (рис. 8). Вычислим величину действия

при перемещении точки По действительной кривой (длина дуги кривой при этом предполагается малой) и по какой-либо кривой сравнения, например, по хорде Согласно принципу Гамильтона, величина действия по кривой, соответствующей действительному перемещению, должна быть меньше, чем по какой-либо кривой сравнения. Определим функцию Лагранжа

Рис. 8

Кинетическая энергия осциллятора равна

Потенциальная энергия равна

Следовательно,

Величина действия для действительного перемещения, которую обозначим через будет равна

Вычислим теперь величину действия по кривой сравнения (прямой ).

Уравнение прямой имеет вид Постоянная В должна быть выбрана из условия, чтобы обе кривые, действительная и кривая сравнения, в момент проходили через одну и ту же точку. Это дает

Так как при движении по кривой сравнения , стало быть, то кинетическая и потенциальная энергии равны:

Следовательно, функция Лагранжа равна

и

что с помощью условия (3.6) можно переписать в виде

Взяв отношение и воспользовавшись равенством найдем

Разложим теперь в ряд. Так как

то

где через обозначен остаток после деления, порядок малости которого есть .

Таким образом, мы показали, что

действие по кривой меньше действия вычисленного по кривой сравнения что находится в полном согласии с принципом Гамильтона.