§ 9. Оптико-механическая аналогия

Первый, кто обратил внимание на аналогию между задачами геометрической оптики и классической механики, был Гамильтон. Именно он указал на аналогию

между движением материальной точки в потенциальном поле и распространением светового луча в изотропной оптически неоднородной среде.

Эта аналогия, как известно, в дальнейшем послужила началом новой физической теории — волновой механики.

К оптико-механической аналогии можно легко прийти, если сопоставить два принципа: принцип Ферма, являющийся основным принципом геометрической оптики, и принцип стационарного действия классической механики в форме Якоби.

Обратимся к сущности принципа Ферма. Рассмотрим распространение светового возмущения из точки А в точку В. В случае оптически однородной среды, когда скорость распространения света есть величина постоянная, луч света будет, очевидно, распространяться прямолинейно по прямой так как нет физических причин, в силу которых происходило бы отклонение луча света. Если же оптическая среда неоднородна и скорость света будет меняться при переходе от точки к точке (мы считаем, что среда неоднородна, но изотропна), то в силу преломляющих свойств среды будет происходить искривление светового луча.

Между точками А и В можно провести пучок кривых линий, и встает вопрос: по какой кривой из рассматриваемого пучка будет происходить распространение светового луча? Ответ на этот вопрос дает принцип Ферма, согласно которому распространение света из точки А в точку В происходит по такой кривой рассматриваемого пучка, что время распространения света при этом оказывается минимальным.

Если элемент дуги светового луча обозначить через то для прохождения этой дуги световому лучу понадобится время, и, следовательно, время распространения света от точки А до точки В будет равно

Обычно вместо времени рассматривают так называемую оптическую длину , равную произведению времени прохождения света на скорость с распространения света в вакууме. Оптическая длина, следовательно, равна

где носит название коэффициента преломления среды.

Таким образом, принцип Ферма имеет форму вариационного принципа, поскольку речь идет о минимуме функционала а. Следовательно, траектория светового луча определится как экстремаль уравнения

С другой стороны, на основании принципа стационарного действия в форме Якоби, при движении материальной точки массой в консервативном поле с потенциальной функцией и заданной величиной энергии функционал

также должен иметь минимальное значение. Следовательно, траектория материальной точки определится как экстремаль уравнения

Сравнивая оба принципа, можно установить оптико-механическую аналогию, а именно, аналогию между

траекторией материальной точки и траекторией светового луча. Положим

или

где — постоянные, причем постоянная , как в этом легко убедиться, имеет размерность энергии.

Выше мы сравнивали траектории частиц с траекториями лучей света, однако аналогию между механикой и оптикой можно провести дальше, если принцип наименьшего действия выразить в волновой форме.

Для этого введем в рассмотрение поверхности равного действия аналогичные поверхностям равной фазы в оптике. Перемещение поверхности равного действия можно рассматривать как волнообразное распространение действия, а само действие — как фазу некоторой «волны действия».

Покажем, что импульс движущейся точки перпендикулярен к поверхности равного действия подобно тому, как в оптике световой луч перпендикулярен к поверхности равной фазы. Напишем действие в форме Мопертюи и будем рассматривать его как функцию верхнего предела, т. е. переменной точки с координатами

Замечая, что

запишем функцию действия в такой форме:

Так как функция действия не зависит явно от времени то имеем

т.е.

или в векторной форме

Отсюда следует, что импульс направлен по нормали к поверхности равного действия Но так как вектор направлен по касательной к траектории частицы, то траектория, следовательно, будет ортогональна к поверхностям равного действия.

Перейдем теперь к определению скорости перемещения поверхности равного действия, т. е. скорости распространения «волн действия». (В оптике аналогом этой скорости служит так называемая фазовая скорость.) Для этого рассмотрим функцию действия 5 по Гамильтону. На основании формулы (3.9) имеем

Отсюда находим

или в векторной форме

т. е. импульс в каждый момент времени ортогонален как к поверхности равного действия так и к поверхности равного действия . Полученный результат легко уяснить, основываясь на следующем.

Возьмем какой-нибудь фиксированный момент времени Очевидно, система поверхностей будет совпадать с системой поверхностей , следовательно, траектории частиц, которые ортогональны к поверхности в рассматриваемый момент времени

будут ортогональны и к поверхностям . Сама же поверхность будет перемещаться в пространстве, и каждый элемент ее будет при этом двигаться в направлении нормали к поверхности.

Из формулы (7.54) имеем

Для нахождения скорости распространения «волны действия» рассмотрим некоторую поверхность равного действия

Для такой поверхности будем иметь

Замечая, что

находим искомую скорость в следующем виде:

Если теперь сравнить формулу (7.56) для скорости перемещения поверхности равного действия с формулой (7.53) для фазовой скорости , то легко видеть, что они совпадут, если постоянную А принять равной энергии Е, т. е. если положить

Таким образом, установлена аналогия между фазовой скоростью в оптике и скоростью «волны действия» в механике.