§ 4. Системы уравнений, имеющие интегральные инварианты

Между относительными интегральными инвариантами и каноническими системами уравнений Гамильтона существует тесная связь.

Действительно, пусть рассматриваемая система уравнений первого порядка имеет гамильтонову форму:

где — известная функция переменных Гамильтона .

Решение системы уравнений (9.4) будет зависеть от времени и произвольных постоянных которые мы будем рассматривать как параметры, определяющие состояние системы в начальный момент времени Следовательно, будем иметь

Если рассматривать как координаты точки в -мерном фазовом пространстве то можно сказать, что уравнения (9.5) устанавливают однозначное соответствие между точками фазового пространства, относящимися к моменту времени и точками ртого же фазового пространства, относящимися к начальному моменту времени

Таким образом, всякую замкнутую линию С, состоящую из фазовых точек можно рассматривать как линию, полученную из точек некоторой другой замкнутой кривой

Величины можно рассматривать как функции некоторого параметра а:

Если параметр а принять равным длине дуги кривой то функции (9.6) будут периодическими с периодом равным длине линии т. е.

Подставляя значения в уравнения (9.5), получаем как функции времени и параметра а:

причем эти функции также будут периодическими относительно параметра а с периодом, равным так что . Рассмотрим теперь интеграл вида

где интегрирование совершается по замкнутому контуру С при постоянном значении , а переменная интегрирования а изменяется в пределах . При этих условиях интеграл будет функцией только параметра а. Поэтому, если его продифференцировать по и учесть, что

то будем иметь

Беря второй интеграл по частям и замечая, что

проинтегрированная часть, равная вследствие замкнутости контура интегрирования обращается в нуль, получаем

Подставляя в найденный интеграл из уравнений (9.4), находим

Интеграл, стоящий в правой части, вследствие замкнутости контура интегрирования равен нулю, а потому

Другими словами, интеграл

взятый по замкнутому контуру С, представляющему контур одновременных состояний системы, сохраняет постоянное значение. Он является относительным интегральным инвариантом Пуанкаре.

Можно доказать и обратное предложение, а именно, если система дифференциальных уравнений первого порядка

имеет относительный интегральный инвариант то она обязательно имеет гамильтонову форму.

Действительно, так как интеграл (9.7) сохраняет постоянное значение, то его полная производная по равна нулю:

С другой стороны,

Взяв второй интеграл по частям и заметив, что проинтегрированная часть вследствие замкнутости контура обращается в нуль, получим после приведения к одному интегралу

Подставляя в найденное выражение значения производных и из (9,8) и используя условие (9.9), находим

Отсюда вследствие произвольности контура интегрирования с следует, что подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции

Это дает

Таким образом, рассматриваемая система уравнений (9.8) будет иметь гамильтонову форму

что и требовалось доказать.

Аналогично можно показать, что если система уравнений (9.8) имеет относительный инвариант Пуанкаре—Картана , то рассматриваемая система

будет иметь гамильтонову форму. Доказательство можно найти в книге Э. Картана «Интегральные инварианты».