§ 4. Вариация координат

Вначале коротко остановимся на понятии вариации функции.

Рассмотрим функцию от одного переменного . Пусть график этой функции имеет вид, указанный на рис. 4 (кривая 1). Изменим вид самой функции, положив

Рис. 4

где — произвольная малая величина, а некоторая дифференцируемая функция переменного Функция показана на рис. 4 пунктиром (кривая 2).

Разность обусловленная изменением вида самой функции (отрезок на рис. 4), носит название вариации функции и обозначается символом

Аргумент при этом остается неизменным Поэтому такую вариацию называют изохронной или синхронной. Сокращенно ее обозначают -вариация.

Если изменение значения функции происходит как за счет изменения вида самой функции, так и за счет изменения аргумента, то такую вариацию называют полной или асинхронной и обозначают символом (-вариация). Так как приращение функции за счет приращения аргумента равно

то полная вариация равна

Изменение аргумента здесь обозначено через .

В случае изохронной вариации (-вариации) имеет место перестановочное соотношение

т. е. последовательность операций варьирования и дифференцирования можно менять (правило ). Это следует непосредственно из того, что

Но по определению -вариации

что и приводит к соотношению (1.21).

В случае полной вариации (-вариации) перестановочное соотношение не имеет места, т. е.

Воспользуемся понятием -вариации для варьирования координат системы.

Рассмотрим систему из материальных точек, на которую наложено голономных связей вида

Пусть конфигурация рассматриваемой системы в каждый момент времени определяется обобщенными координатами Декартовы координаты будут функциями обобщенных координат и времени

Дадим обобщенным координатам бесконечно малые приращения (вариации) так что новые значения обобщенных координат для того же момента времени будут: Таким образом, мы от первоначальной конфигурации, которую обозначим символом перейдем к новой конфигурации близкой к первой. Новая конфигурация системы будет совместима с наложенными на систему связями (1.22). Это вытекает из того, что новые координаты системы определяющие конфигурацию будучи подставлены в уравнения связей (1.22), обращают последние в тождества [см. формулу (1.13)]. Далее, замечая, что можем написать

Раскладывая в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми степенями относительно вариаций находим

Аналогичные разложения получаем для Пользуясь далее (1.23), находим следующие выражения для вариаций координат

Эти изохронные вариации носят название виртуальных вариаций координат.

Заметим, что формулы (1.24) для виртуальных вариаций координат сохраняют свой вид независимо от того, являются ли связи нестационарными (1.22), или стационарными, выражаемыми уравнениями

поскольку при изохронном варьировании координат, которое мы здесь рассматриваем, время считается постоянным параметром и, следовательно, не варьируется