§ 6. Диссипативные системы

В механических системах, в которых существует трение, происходит уменьшение энергии системы. Это явление называется рассеянием или диссипацией энергии, а сами силы сопротивления, в результате действия которых происходит эта диссипация, называются диссипативними силамиг.

Системы, в которых происходит диссипация энергии, называются диссипативными системами.

Как показывает опыт, диссипативные силы в большинстве случаев линейным образом зависят от скоростей и могут быть представлены в виде следующей линейной формы:

где матрица из коэффициентов симметрична и, следовательно,

Диссипативные силы можно определить с помощью диссипатизной функции Рэлея которая представляет собой однородную квадратичную форму от обобщенных скоростей:

Отсюда находим, что

Применяя формулу (5.27) к диссипативным системам и полагая, что — диссипативные силы, получаем выражение для скорости изменения энергии Е:

Так как функция Рэлея есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей, то на основании теоремы Эйлера об однородных функциях по лучаем

Из этой формулы становится ясным физический смысл функции Рэлея, а именно, скорость убывания полной энергии Е в диссипативных системах равна удвоенному значению диссипативной функции Рэлея.

Так как в диссипативных системах происходит вание энергии, то , следовательно, , т. е. функция Рэлея представляет собой определенно положительную квадратичную форму. В этом случае говорят, что диссипация полная.

Если же не является определенно положительной функцией всех скоростей и может, следовательно, обращаться в нуль, когда не все , равны нулю (например, может оказаться, что когда , а все остальные то говорят, что диссипация частичная; в этом случае

Уравнения движения диссипативных систем можно получить с помощью уравнений Лагранжа. Прибавим к правым частям этих уравнений диссипативные силы Тогда будем иметь

Если обобщенные силы имеют потенциал , следовательно, то, выразив силы из (5.32), получим уравнения движения диссипативных систем в следующей форме:

В качестве примера рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы, положение которой определяется обобщенной координатой .

Пусть на эту систему, кроме обобщенной силы действует еще диссипативная сила .

Уравнение движения имеет вид

Написав диссипативную функцию Рэлея

можно найти скорость изменения полной механической энергии Е:

Если в результате интегрирования уравнения движения будет найдено выражение для в виде функции от то будем иметь

Полученная формула выражает закон рассеяния энергии в рассматриваемой системе.