§ 5. Общее уравнение динамики
Рассмотрим некоторую механическую систему, подчиненную стационарным, удерживающим и идеальным связям. Применяя к системе последовательно принцип Даламбера и принцип виртуальных перемещений, можно получить общее уравнение динамики.
Присоединим к активным силам 
и реакциям связей 
действующим на точки системы, даламберовы силы инерции 
Такая система сил на основании принципа Даламбера будет находиться в равновесие Поэтому можно написать
К такой системе теперь можно применить принцип виртуальных перемещений.
Обозначив через 
вектор виртуального перемещения 
точки системы, напишем основное уравнение статики:
Для идеальных связей сумма работ реакций связей на любом виртуальном перемещении равна нулю:
Следовательно,
Напишем это уравнение в проекциях на оси координат. Замечая, что проекции даламберовой силы инерции
на декартовы оси координат соответственно равны 
и обозначая проекции активной силы 
на эти же оси соответственно через 
, а вектора виртуального перемещения 
через 
получаем
Это есть общее уравнение динамики — уравнение Даламбера — Лагранжа.
Уравнение (2.13) содержит виртуальные вариации 
координат точек системы, и, следовательно, оно охватывает всю совокупность возможных движений,
совместимых с наложенными связями, которые система может совершать.
Так как из общего уравнения динамики могут быть выведены уравнения движения, а также общие теоремы динамики, то его можно рассматривать как принцип и положить в основу изучения механики. Этот принцип называют принципом Даламбера — Лагранжа.
Общее уравнение динамики приложимо как к голономным, так и к неголономным системам (с линейными относительно скоростей связями), лишь бы виртуальные перемещения, сообщаемые точкам системы, были совместимы с наложенными связями.
С этой точки зрения принцип Даламбера—Лагранжа, который может быть отнесен к дифференциальным вариационным принципам, является более общим, чем интегральные вариационные принципы, о которых речь будет дальше.
Достоинством общего уравнения динамики (2.13) является то, что оно не содержит, реакций связей, что весьма удобно при решении задач.
Следует отметить, что, хотя общее уравнение динамики получено для систем с идеальными связями, т. е. для систем без трения, его можно применять также и к системам с трением, если условиться включать силы трения в число активных сил.
