§ 3. Теорема Ляпунова об устойчивости движения

Прежде чем излагать теорему Ляпунова об устойчивости движения, введем некоторые определения.

Рассмотрим вещественную функцию V от переменных подчиненных условиям

где — постоянные, причем Н положительно и отлично от нуля. Функцию будем предполагать непрерывной, однозначной и обращающейся в нуль, когда все .

Если при выполнении условий (10.11) функция кроме нулевых значений принимает значения одного знака, то такая функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной). Если же она может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то она называется знакопеременной. Например, функции

будут знакопостоянным положительными функциями, а функции

— знакопостоянными отрицательными функциями. Функции же

будут знакопеременными.

Если знакопостоянная функция V не зависит от а постоянная Н может быть выбрана достаточно малой для того, чтобы при выполнении условий (10.11) функция V обращалась в нуль только при значениях

, то такая функция называется знакоопределенной (знакоопределенной положительной или знакоопределенной отрицательной). Например, функция

является знакоопределенной положительной функцией при любых , а функция

будет знакоопределенной положительной функцией при . Функция же

будет знакоопределенной отрицательной функцией.

Если функция V зависит явным образом от то она является знакоопределенной только при следующих условиях: если она знакопостоянна, обращается в нуль при любом лишь тогда, когда все и притом такова, что для нее можно найти такую не зависящую от определенно положительную функцию чтобы одно из двух выражений

представляло положительную функцию. Например,

есть знакоопределенная положительная функция, а

не есть знакоопределенная функция, а является знакопостоянной положительной функцией.

Будем называть функцию V ограниченной, если можно указать такое положительное число что при выполнении условий (10.11) будет иметь место неравенство

Если же такого числа указать нельзя, то функция V называется неограниченной. Следует заметить, что при достаточно малых значениях таковой будет,

в силу непрерывности, всякая независящая от Например,

есть ограниченная функция, а

— неограниченная функция.

Будем говорить, что ограниченная функция V допускает бесконечно малый высший предел, если для всякого в, как бы мало оно ни было, можно найти такое отличное от нуля число X, что при всех значениях переменных, удовлетворяющих условиям

будет выполняться неравенство

Очевидно, этому требованию будет удовлетворять, в силу непрерывности, всякая независящая от функция V.

Однако функция V, зависящая от может быть ограниченной, но в то же время не допускать бесконечно малого высшего предела. Например, функция

является ограниченной и в то же время не допускает бесконечно малого высшего предела, ибо как бы малы ни были величины при подходящем выборе значение функции по абсолютной величине можно сделать сколь угодно близкой к единице.

Сформулируем теперь основную теорему Ляпунова, выражающую достаточные условия устойчивости движения. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной

функцией противоположного знака с V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

Функция V, удовлетворяющая условиям теоремы Ляпунова, носит название функции Ляпунова.

Если рассматривать как функции определяемые уравнениями возмущенного движения (10.7), то V будет функцией а ее полная производная V будет равна

или в силу уравнений возмущенного движения (10.7)

Для доказательства теоремы предположим, что функция Ляпунова есть определенно положительная функция, а ее полная производная по времени V (10.12) отрицательна или тождественно равна нулю. Согласно определению знакоопределенной функции найдется такая не зависящая от определенно положительная функция что в области изменения переменных, определяемой условиями (10.11), будут одновременно выполняться следующие неравенства:

Рассмотрим значения функции на гиперсфере

где А — некоторое произвольно малое, отличное от нуля положительное число, меньшее чем Н.

Пусть есть точная низшая граница на гиперсфере (10.14). Так как — определенно положительная функция, то число будет положительно и отлично от нуля.

Рассмотрим далее функцию . Так как эта функция не зависит явным образом от , то она допускает бесконечно малый высший предел, который мы обозначим через е. Это означает, что для значения как бы мало оно ни было, всегда найдется такое X, что для переменных удовлетворяющих условию

значения функции будут удовлетворять неравенству

Следовательно, это неравенство будет соблюдаться и для значений начальных возмущений: если только последние подчиняются условию

Таким образом, можно написать

Так как по условию теоремы полная производная отрицательна или тождественно равна нулю, поскольку мы предположили, что функция Ляпунова определенно положительна, то из равенства

будет следовать, что

или на основании (10.13) и (10.15)

Это означает, что переменные будут удовлетворять неравенству (10.15), а тем самым и условию

поскольку есть точная низшая граница функции и достигается функцией лишь на гиперсфере

Тем самым теорема Ляпунова об устойчивости движения доказана.

В качестве иллюстрации рассмотрим следующий простой пример.

Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид

Определенно положительная функция

удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова, так как ее полная производная по времени является определенно отрицательной функцией (значит она будет и знакопостоянной отрицательной функцией):

Так как условия теоремы Ляпунова выполнены, то невозмущенное движение будет устойчивым.

Приведенное ранее доказательство теоремы Ляпунова можно весьма просто пояснить на таком примере.

Рассмотренная здесь функция Ляпунова будет определенно положительной функцией для любой области изменения переменных Рассмотрим сферу

где А — положительное, произвольно малое число. Начальные возмущения подчиним условию

причем X выберем так, чтобы выполнялось неравенство

Это означает, что движение точки начнется с поверхности сферы, внутренней по отношению к сфере (10.17).

Рассмотрим семейство сфер

Так как то точка начавшая свое движение с поверхности сферы (10.18), будет переходить на внутренние сферы , следовательно, никогда не достигнет сферы а это означает, что при движении точки будет выполняться неравенство

Поскольку значение X может быть выбрано для любого , как бы мало оно ни было (лишь бы было так, чтобы при выполнении условия (10.18) выполнялось неравенство (10.19), то, согласно Ляпунову, рассматриваемое невозмущенное движение будет устойчивым.