§ 2. Уравнения Гамильтона

Описание движения механической системы с помощью функции Лагранжа как мы видели, к интегрированию совокупной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

В ряде случаев оказывается более удобным перейти от указанной системы уравнений Лагранжа к системе уравнений первого порядка.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что всякую нормальную систему дифференциальных уравнений второго порядка можно заменить эквивалентной ей системой дифференциальных уравнений

первого порядка, причем эту замену можно осуществить бесчисленным числом способов.

Так как система уравнений Лагранжа (6.7) является нормальной, то ее, следовательно, можно преобразовать в эквивалентную систему дифференциальных уравнений первого порядка, взяв, например, в качестве новых переменных обобщенных координат и обобщенных скоростей или любых независимых между собой функций от (эти функции могут содержать также время и обобщенные координаты

Гамильтон в качестве независимых переменных принял время обобщенных координат и обобщенных импульсов (переменные называются переменными Гамильтона), а в качестве характеристической функции взял функцию (см. 6.1).

Для получения уравнений Гамильтона поступим следующим образом. Составим полный дифференциал от функции Имеем

С другой стороны, из формулы (6.1) находим

Дифференциал функции Лагранжа равен

Так как

то будем иметь

Подставляя теперь найденное значение в формулу (6.9), получаем следующее выражение для дифференциала

Отсюда путем сравнения полученного выражения с формулой (6.8) находим

и

Это и есть канонические уравнения Гамильтона.

Если сравнить соотношение с формулой , полученной ранее, то будем иметь

В том случае, когда функция Гамильтона не зависит явно от времени имеем , следовательно,

Отсюда сразу находим один из интегралов уравнений движения

который представляет не что иное, как обобщенный интеграл энергии:

Если, например, функция Лагранжа может быть представлена как разность между кинетической энергией Т и потенциальной энергией V, причем Г — однородная квадратичная функция от обобщенных скоростей, а — функция только от обобщенных координат, то функция Гамильтона будет равна полной механической энергии системы.