§ 5. Принцип сохранения количества движения и энергии

Исходя из свойств относительного интегрального инварианта

Э. Картан сформулировал принцип, названный им «принципом сохранения количества движения и энергии», который может быть положен в основу механики.

Будем по-прежнему рассматривать расширенное фазовое пространство фазовая точка в котором определяется координатами характеризующими состояние системы. Поэтому любой контур, состоящий из этих фазовых точек, можно назвать контуром состояния.

Если теперь, следуя Э. Картану, выражение, стоящее под знаком интеграла (9.10), назвать тензором «количества движения и энергии» (поскольку величины связаны с количеством движения системы, а величиной энергии), то указанный принцип можно сформулировать следующим образом: дифференциальные уравнения движения системы характеризуются тем свойством, кто они допускают в качестве интегрального инварианта интеграл, взятый от тензора «количества движения и энергии» по произвольному замкнутому контуру состояний.

Тот факт, что интегральный инвариант Пуанкаре — Картана может быть положен в основу механики, объясняется двумя обстоятельствами: во-первых, исходя из этого интегрального инварианта, можно получить уравнения движения в форме канонических уравнений Гамильтона, и, во-вторых, уравнения движения являются единственными уравнениями, которые имеют интегральный инвариант в форме (9.10).

Построение механики на основе «принципа сохранения количества движения и энергии», выраженного в форме интегрального инварианта Пуанкаре — Картана, является более общим, чем построение ее на основе принципа Гамильтона.

Уравнения Лагранжа, получаемые из принципа Гамильтона, имеют форму, не зависящую от выбранной системы координат, и в этом их существенное достоинство. Однако время играет в этих уравнениях особую роль.

Если же в основу механики положить инвариантность интеграла Пуанкаре — Картана то время уже не будет играть особой роли, поскольку его можно рассматривать наравне с координатами Этим самым достигается независимость в выборе пространственно-временных координат. Поэтому, если выполнить некоторое преобразование над параметрами, определяющими конфигурацию системы, а также над временем, то для того чтобы написать уравнения движения в новых переменных, достаточно указать в этих переменных соответствующий тензор количества движения и энергии.

Следует отметить, что если кривую С, по которой производится интегрирование и которую мы назвали кривой состояний, выбрать так, тобы удовлетворялись соотношения

то тензор количества движения и энергии, равный

превращается в элементарное действие Гамильтона. Действительно, в этом случае имеем

где — функция Лагранжа.

Если контур С выбрать как кривую одновременных состояний то в этом случае интегральный инвариант Пуанкаре — Картана превращается в интегральный инвариант Пуанкаре .