15. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО

Колебательным звеном называется один из простейших динамических элементов или его составная часть, имеющая передаточную функцию вида

Неустойчивые колебательные звенья имеют передаточные функции вида и

или

Примеры устойчивых колебательных звеньев приведены на рис. VIII.28, а — в. При скачкообразном изменении входной величины выходная величина устойчивого колебательного звена совершает затухающее колебательное движение, показанное на рис. VIII. 24, б (кривая 1).

В соответствии с выражением (VIII.171) динамические свойства колебательного звена описываются дифференциальным уравнением второго порядка:

Дифференциальные уравнения неустойчивых колебательных звеньев имеют вид

Свойства колебательного звена определяются тремя параметрами: постоянной времени Тк, относительным коэффициентом затухания и передаточным коэффициентом Уравнение (VIII. 174) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

рис. VI 11.28. Примеры элементов систем автоматического регулирования, которые могут рассматриваться как устойчивое колебательное звено: а — сообщающиеся сосуды, соединенные через гидравлическое сопротивление — масса М, соединенная с пружиной F и снабженная катарактом К; в — электрическая цепь

Характеристическое уравнение, соответствующее этому дифференциальному уравнению, имеет вид

Корни квадратного уравнения (VIII. 177) находятся по формуле (VIII.178)

Если параметры звена таковы, что имеет место неравенство то корни характеристического уравнения (VIII. 178) получаются комплексными и могут быть представлены в виде

где

Величина а характеризует быстроту затухания колебаний в звене и называется коэффициентом затухания; (3 есть угловая частота колебаний.

Если коэффициент при первой производной в дифференциальном уравнении звена равен нулю, то передаточная функция звена имеет вид

и

Колебания при этом не затухают и имеют угловую частоту (собственная угловая частота). Колебательное звено, для которого иногда называют консервативным звеном.

Если коэффициент при первой производной выходной величины в уравнении движения системы отрицателен, как это имеет место в уравнении (VIII. 175), то коэффициент затухания также отрицателен и амплитуда колебаний выходной величины звена с течением времени будет возрастать.

Переходная функция колебательного звена. При скачкообразном изменении входной величины звена решение уравнения (VIII. 174) имеет вид

Последнее уравнение описывает затухающий колебательный процесс с относительным коэффициентом затухания I и угловой частотой стремящийся к установившемуся значению при (см. рис. VIII.24, б, кривая 1). Соответственно для неустойчивого колебательного звена (см. кривую 2, рис. VIII 24, б)

Если параметры звена таковы, что удовлетворяется неравенство то корни характеристического уравнения получаются действительными и равными

где

В этом случае переходная функция имеет вид

Звено такого рода может быть всегда представлено как два апериодических звена (первого порядка), обладающих постоянными времени и коэффициентами усиления соединенных последовательно: выход первого со входом второго.

Частотные характеристики колебательного звена. Для получения частотных характеристик заменим на в выражении для передаточной функции (VIII.171). В результате получим

Модуль этой функции является амплитудной частотной характеристикой, аргумент — фазовой частотной характеристикой колебательного звена. Амплитудно-фазовая характеристика имеет вид, показанный на рис. VIII.29. Она начинается в точке на действительной оси (при Модуль достигает максимума при определенной частоте, меньшей чем Эта частота является резонансной частотой звена. При угловой частоте частотная характеристика пересекает мнимую ось. При со частотная характеристика подходит к началу координат, однако в отличие от характеристики апериодического звена кривая в этой точке касается действительной, а не мнимой оси. Выходная величина при частоте, близкой к бесконечности, отстает от входной на угол 180°.

Рис. VI 11.29. Амплитудно-фазовая характеристика устойчивого колебательного звена

В системах автоматического регулирования часто встречаются элементы или совокупность элементов, которые по своим динамическим свойствам достаточно близко подходят к свойствам колебательного звена. Такими элементами являются, например, мембранный

исполнительный механизм, электрический фильтр, измерительная система дифференциального манометра и т.

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики колебательного звена [1], [8], как это следует из формулы (VIII. 189), определяются выражениями

и

Семейство кривых для различных и одного и того же значения Тк приведено на рис. VIII.30 и VIII.31.

Рис. VII 1.30. Логарифмические амплитудные частотные характеристики колебательного звена

Как можно видеть из рис. VIII.30, кривые могут иметь существенный пик при Поэтому представление кривых в виде сопрягающих прямолинейных отрезков в окрестности точки может быть недопустимо. Однако при значениях и значениях логарифмическая амплитудная характеристика (VIII. 189) может быть приближенно заменена прямыми линиями. Действительно, на основании формулы (VIII. 190) можно приближенно написать

Из выражений (VIII. 192) и (VIII. 193) очевидно, что логарифмическая амплитудная характеристика колебательного звена при малых со асимптотически стремится к оси частот, т. е. к прямой, имеющей нулевой наклон, а при больших асимптотически стремится к прямой, имеющей наклон, равный —12 дб на октаву или — 40 дб на декаду.

Найдем частоту определяющую интервал частот в пределах которого равенство (VIII.192) остается справедливым с точностью до дб.

Рис. VIII.31. Фазовые частотные характеристики колебательного звена

Это значение частоты определяется соотношением

откуда

или

причем из двух выражений (VIII.195) и (VIII. 196) для следует выбирать то из них, которое при данном имеет меньшее вещественное значение.

В приводимой ниже табл. VIII.3 даны значения соответствующие различным :

Таблица VIII.3

Найдем теперь частоту определяющую интервал частот в пределах которого равенство (VIII.193) остается справедливым с точностью Частота может быть найдена из соотношения

Решая уравнение (VIII. 197) относительно получим

или

причем из двух получившихся выражений (VIII.198) и (VIII.199) для следует выбирать то из них, которое при данной имеет наибольшее вещественное значение.

В приводимой ниже табл. VIII.3 даны значения соответствующие различным

На рис. VIII. 32 даны области частот, в которых ошибка при замене логарифмической амплитудной характеристики колебательного звена двумя сопрягающимися прямыми превышает . Эти области построены на основании табл. VIII.4.

Для облегчения построения логарифмической амплитудной характеристики колебательных звеньев в интервале частот в котором они не могут быть заменены прямолинейными асимптотами, могут служить кривые поправок, приведенные на рис. VIII.33.

Таблица VIIL

Рис. VI 11.32. Области частот, в которых ошибки при замене логарифмической амплитудной характеристики колебательного звена двумя сопрягающимися прямыми превышают ±3 дб, заштрихованы

Эти поправки, выраженные в децибелах, должны учитываться при замене точного выражения (VIII. 190) для двумя асимптотами (VIII.192) и (VIII.193).

Итак, можно предложить следующее правило построения логарифмической амплитудной характеристики или характеристики затухания колебательного звена:

1) отмечаем на оси частот сопрягающую частоту и проводим из нее прямую с наклоном —40 дб на декаду; в результате получаем первое приближение для логарифмической амплитудной характеристики в виде прямолинейных асимптот, сопрягающихся в точке

Рис. VIII.33. Кривые поправок для асимптотических логарифмических амплитудных частотных характеристик колебательного звена

2) определяем частоты если при этом окажется, что то первое приближение, о котором говорится в предыдущем пункте, будет обеспечивать точность, не меньшую 3 дб;

3) если то для уточнения вида логарифмической амплитудной характеристики в интервале частот пользуемся кривой поправок, которой соответствует значение наименее отличающееся от рассматриваемого; поправки откладываем от сопрягающихся асимптот.

Для вычисления фазы часто можно пользоваться вместо точной формулы (VIII.191) приближенными формулами:

при

при

Ошибка в вычислении фазы по этим формулам при любом не превышает 2°.

Неустойчивое колебательное звено. В случае неустойчивого колебательного звена, имеющего передаточную функцию вида (VIII. 176), выражения для логарифмической амплитудной и фазовой частотных характеристик при имеют вид

Кривые отклонений точных амплитудных характеристик от асимптотических и семейство фазовых характеристик, определяемых формулами (VIII.202) и (VIII.203), приведены соответственно на рис. VIII.34 и VIII.35.

Рис. VIII. 34. Кривые отклонений логарифмических амплитудных частотных характеристик неустойчивого колебательного звена асимптотических

В случае неустойчивого колебательного звена, имеющего передаточную функцию вида (VIII. 175), выражения для логарифмической амплитудной и фазовой частотных характеристик при имеют вид

Сравнивая формулы (VI11.204) и (VI11.205) с формулами (VIII.190) и (VIII.191), отметим, что характеристики затухания

рассматриваемых неустойчивого и устойчивого колебательных звеньев одинаковы, а их фазовые характеристики отличаются лишь знаком.

Таким образом, при построении логарифмических амплитудных характеристик (VIII.204) мы можем пользоваться рис. VIII.30, а при построении фазовых характеристик (VIII.205) — рис. VI 11.31, зеркально отобразив последние относительно оси .

Рис. VI 11.35. Фазовые частотные характеристики